Как высчитать корень из числа без калькулятора
Перейти к содержимому

Как высчитать корень из числа без калькулятора

  • автор:

Как извлечь квадратный корень без калькулятора

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 33 человек(а).

Количество источников, использованных в этой статье: 8. Вы найдете их список внизу страницы.

Количество просмотров этой статьи: 314 044.

В этой статье:

Извлечь квадратный корень довольно легко, если под знаком корня стоит целое число (полный квадрат). В противном случае квадратный корень (из любого числа) можно извлечь вручную, то есть без калькулятора. Чтобы пользоваться описанным методом, нужно знать основные математические операции: умножение, сложение и деление.

Метод 1 из 3:

Извлечение квадратного корня из целых чисел

Step 1 Извлеките квадратный корень.

  • Например, квадратный корень из 1 равен 1, потому что 1 умножить на 1 равно 1 (1×1 = 1). Квадратный корень из 4 равен 2, потому что 2 умножить на 2 равно 4 (2х2 = 4). Представьте дуб. Дуб вырастает из желудя. Таким образом, дуб намного больше желудя, но связан с ним, потому что именно желудь пускает первые корни. В приведенном выше примере 4 – это дерево, а 2 – желудь.
  • Таким образом, квадратный корень из 9 равен 3 (3х3 = 9), из 16 равен 4 (4х4 = 16), из 25 равен 5 (5х5 = 25), из 36 равен 6 (6х6 = 36), из 49 равен 7 (7х7 = 49), из 64 равен 8 (8х8 = 64), из 81 равен 9 (9х9 = 81), из 100 равен 10 (10х10 = 100). [1] X Источник информации

Step 2 Чтобы извлечь квадратный.

  • Например: 16 делить на 4 равно 4; 4 делить на 2 равно 2 и так далее. Таким образом, 4 – это квадратный корень из 16, а 2 – квадратный корень из 4.
  • Корнями из полных квадратов являются целые числа, а не обыкновенные и десятичные дроби.

Step 3 Правильно обозначайте квадратный корень.

  • где N – это подкоренное выражение, то есть число, из которого нужно извлечь корень. Такое число записывается под знаком корня. [3] X Источник информации
  • Таким образом, если нужно извлечь квадратный корень из 9, то 9 записывается под знаком корня (радикала), затем пишется знак равенства, а потом 3. Это означает, что квадратный корень из 9 равен 3.

Как найти корень числа: простые способы без калькулятора

Корень из числа

Как найти квадратный корень? Есть простые способы: метод деления целых чисел, поиск дробных корней из любых чисел, поиск среднего арифметического. Также есть алгоритм поиска корня из больших чисел.

Метод деления

Образовательный онлайн-ресурс Mathematics Libre Texts объясняет, что найти квадратный корень из числа — это значит, найти такое число, которое при умножении на себя даст исходное число, то есть то, из которого задано найти корень.

В математике, учебной и научной литературе квадратный корень обозначают специальным символом, который называется радикал (√). Он имеет вид галочки, которая иногда на письме продолжается верхней горизонтальной линией. Число под знаком корня называется подкоренное выражение (число, из которого надо извлечь корень). Например, если задано извлечь корень из 9, то это будет выглядеть так: √9=3.

В математике есть ряд чисел, которые называются полным квадратом или идеальным, совершенным квадратом: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Это целые числа, которые делятся на некоторое число так, что в результате получается число, совпадающее с делителем.

Найти эти корни можно с помощью деления: 4÷2=2, 9÷3=3, 16÷4=4, 25÷5=5, 36÷6=6, 49÷7=7, 64÷8=8, 81÷9=9, 100÷10=10. Это значит, что √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10. Корнями из таких квадратов всегда будут целые числа, а не дроби.

Ряд чисел, которые называются полными квадратами, рекомендуется запомнить, чтобы при необходимости их легко узнавать. Сайт крупнейшего в мире издателя образовательных ресурсов Twinkl предлагает рабочий лист, на котором выписаны полные квадраты.

Полные квадраты

Метод поиска дробного числа

Из чисел, которые не входят в ряд полных квадратов, тоже приходится извлекать квадратные корни. Это можно сделать из любого числа, но процесс будет труднее — методом проб.

Как извлечь корень из любого числа? Для этого надо определить, какие есть рядом полные квадраты, а затем в диапазоне между ними искать дробное число, которое при умножении на себя даст исходное число.

Рассмотрим, как действовать, чтобы извлечь корень, например, из числа 20:

  1. Вспомните, какие есть полные квадраты близкие к числу 20. Это числа 16 и 25 (√16=4 и √25=5). Значит корень из 20 будет находиться в диапазоне между числами 4 и 5.
  2. Рассмотрите среднее между ними число 4,5, умножьте его на самого себя, то есть возведите в квадрат: 4,5×4,5=20,25. Число получается больше 20, поэтому рассматривайте варианты с меньшим числом, например: 4,4×4,4=19,36. Теперь число меньше 20, значит корень из 20 надо искать между 4,5 и 4,4. Возьмите число 4,445: 4,445×4,445=19,758. Это уже близко, но еще меньше 20.

Продолжая поиск, придете к такому решению: 4,475×4,475=20,03. Такой результат округлите и получите 20. Таким образом, получаем ответ: √20=4,475.

С помощью среднего арифметического

Из чисел, которые не относятся к полным квадратами, можно извлечь корень еще одним способом — методом усреднения, то есть поиском среднего арифметического. Например, чтобы извлечь корень из 10, примените такой алгоритм действий:

  1. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится число 10. Это будут числа 9 и 16 (√9=3, √16=4). Следовательно, корень из 10 следует искать в диапазоне чисел от 3 до 4. Очевидно, что это будет какое-то дробное число.
  2. Разделите число, из которого надо найти корень (10), на квадратный корень из первого полного квадрата: 10÷3=3,33.
  3. Найдите среднее арифметическое от 3 и 3,33: (3+3,33)÷2=3,167.
  4. Разделите 10 на это среднее арифметическое: 10÷3,167=3,1579.
  5. Теперь найдите среднее арифметическое между двумя последними результатами: (3,167+3,1579)÷2=3,1623.

Остается проверить, будет ли число 3,1623 корнем из 10. Для этого умножьте его на самого себя: 3,1623×3,1623=10,001. Значит ответ: √10=3,1623.

Извлечение корня квадратного из больших чисел

Есть простой способ извлечения корня из больших чисел. С помощью этого алгоритма сможете делать действие быстро и после некоторой тренировки почти устно. Например, если надо извлечь корень из числа 3364, выполните последовательно такие действия:

Пример поиска квадрата большого числа

  1. Ограничьте искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Начинайте с возведения в квадрат числа от 10 и дальше: 10²=100, 20²=400 и так далее. Это легко сделать устно. При дальнейшем поиске обнаружите, что число 3364 расположено между 50² (2500) и 60²(3600). Это и будет нижняя и верхняя границы поиска. Из этого следует, что искомый корень из 3364 будет не меньше 50² и не больше 60², а нужное число надо искать между числами 50 и 60. В результате такого простого действия сократили диапазон поиска до десяти чисел.
  2. Вторым шагом будет отсев чисел, которые точно не могут быть корнями из 3364. Для этого обратите внимание на последнюю цифру этого числа — 4: сразу поймете, на что заканчивается то число, которое ищете. На 4 могут заканчиваться квадраты чисел 2, то есть (2²=4), и 8 (8²=64). Этот шаг подсказывает, что квадрат от 3364 будет заканчиваться или на 2, или на 8. В определенном первым действием диапазоне от 50 до 60 это могут быть только два числа — 52 или 58.
  3. На третьем шаге остается сделать финальные вычисления — возвести в квадрат последовательно оба числа: 52²=2704; 58²=3364. Становится очевидным, что искомым числом будет второе число из предполагаемых: √3364=58.

Предложенный алгоритм позволил в 3 шага найти корень из большого числа. Таким образом, можно находить квадратные корни из любых многозначных чисел, но они не всегда будут получаться целыми. В более сложных случаях придется дополнить этот способ рассмотренным ранее методом поиска дробного числа или среднего арифметического.

Извлечь квадратный корень из чисел в разных заданиях поможет один из предложенных способов. Это умение пригодится в дальнейшем на экзаменах по математике или физике, когда калькуляторами пользоваться нельзя.

Вычисление квадратного корня из любого числа без калькулятора

Вычисление квадратного корня из любого числа без калькулятора

Во время сдачи ЕГЭ по математике использование калькулятора, как известно, запрещено. Поэтому любой репетитор по математике всегда заставляет своих учеников считать все устно или на бумаге. Но время от времени встречаются задачи, при решении которых требуется извлекать квадратные корни из достаточно больших чисел, и на ЕГЭ по математике такие задачи тоже есть. С проблемой нахождения алгоритма вычисления квадратного корня из вещественного числа читатель может столкнуться (помимо ЕГЭ по математике) на различного рода математических конкурсах и олимпиадах. Итак, как найти квадратный корень без использования калькулятора?

Как репетитор по физике и математике, занимающийся подготовкой к ЕГЭ и ГИА, предлагаю вашему вниманию один действенный алгоритм, не претендующий на максимальную эффективность, но работающий безотказно с любыми вещественными числами. Приведенный метод может со временем стать столь же известным, как, к примеру, метод умножения двух чисел «столбиком», ведь он во многом на него похож.

Вот наглядная схема алгоритма вычисления квадратного корня из любого числа без использования калькулятора (кликабельно):

Вычисление квадратного корня без калькулятора

Алгоритм вычисления квадратного корня из любого вещественного числа без использования калькулятора

Однако, вопрос о том, почему данный алгоритм работает, остается пока открытым. Для того, чтобы разобраться в этом, возьмем, для примера, число, цифрами которого являются и То есть само число имеет вид Пусть корнем будет число , состоящее из цифр и То есть Выполним «столбиком» умножение

\[ 10x\cdot 10x = 100x^2,\, 2\cdot x\cdot 10y=20xy,\, y\cdot y = y^2.\]

\[ \overline{abcd} = 100x^2+20 xy+y^2.\]

Проанализировав это разложение, понимаем, что разделяя число на пары и числу в первой паре мы ставим в соответствие число, содержащееся в Иначе говоря, квадратный корень из числа округленный до нижнего целого числа, есть

Теперь, зная значение для нахождения необходимо вычислить значение выражения или, что то же самое, значение выражения Поразмыслив над этим, понимаем, что в этом, собственно, и состоит суть действия, совершаемого при подборе числа, которое необходимо подставить на четвертом шаге алгоритма вместо знаков подчеркивания. Таким образом мы находим Зная и знаем

Такой подход может быть обобщен на случай любого количества разрядов в исходном числе. Если корень не является рациональным, вычисления могут продолжаться сколь угодно долго (с любой необходимой степенью точности). Вот такой простой алгоритм. Запомните его, возможно, он пригодится вам при сдаче ЕГЭ по математике.

Я съел две курицы, мой сосед — ни одной, но в среднем мы съели по одной курице. Такая вот математика.
© Марк Твен

Как на бумаге, без калькулятора вычислить квадратный корень какого-либо числа?

А, вот, давайте извлечем корень из 729. Число разбивают справа налево по два разряда. Извлекаем корень из 7. Ближайшее целое — это 2. Ставим его квадрат под семеркой. 7-4=3. Сносим тройку вниз и приписываем оставшиеся две цифры = 329. Двойку, которая справа удваиваем и пишем слева перед 329 и рядом ставим точку. И под ней ставим точку. Теперь на место этих точек надо поставить одно и то же число, так чтобы 4Z x Z давало 329. Это семерка. Итого корень равен 27.

Источник: школьное детство
Остальные ответы
Есть таблицы Брадиса.

Можно и без таблицы. Схема получения квадратного корня числа (а) с любой желаемой степенью точности такая:
1) берешь корень на глаз (b);
2) делишь данное число (а) на выбранный корень (b);
3) если полученный результат (c) сильно отличается от выбранного корня (b), то находишь их среднее арифметическое (a+b)/2;
4)если нас устраивает полученная степень точности то ВСЕ, иначе повторяем пункты 2, 3 с уже новым числом (с) , и так до позеленения (пока не достигнешь желаемой точности) .
Схема нудная и энергозатратная, зато позволяет добиться любой желаемой точности, в отличие от таблиц Брадиса. Но на практике таблица все же намного практичнее.

А что, в школе не учат. Я до сих пор квадратный корень на бумажке извлекаю, хотя прошло почти 50 лет.. .
Да и логарифмической линейкой помню как пользоваться.

— рисуете окружность диаметра (x+1)
— проводите диаметр
— отмеряете по диаметру 1 от одного края диаметра
— проводите перпендикуляр
— длина перпендикуляра до перечесения с окружностью = корень из x

критерий точности: чем руки прямее, тем точнее

(Из книги Гусева В. А. , Мордковича А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 1990. — 416 с. )

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.

1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры) , включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.

2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.

3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа (запись означает 10 * a + x) на x не превосходило числа А. Цифра x — вторая цифра результата.

4. Произведение числа на x вычтем из числа A, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру y, чтобы произведение числа на y не превосходило числа B. Цифра y — третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань

Вот как эту задачу в 1637г описывает в своей «Геометрии» Рене Декарт:
Если нужно извлечь квадратный корень из [отрезка] GH, то я прибавляю к GH,
по продолжению, прямую FG, являющуюся единицей, и, разделив [отрезок] FH
в точке О на две равные части, описываю из центра О окружность FОH;
если затем провести от точки G к точке О прямую, перпендикулярную к FH,
то GJ будет искомым корнем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *