Какое действие можно назвать противоположным умножению
Перейти к содержимому

Какое действие можно назвать противоположным умножению

  • автор:

Умножение целых чисел: правила, примеры

В этом материале мы покажем, как правильно выполнять умножение целых чисел. Начнем, как всегда, с основных понятий и обозначений и выясним, какой смысл вкладывается в умножение двух целых чисел. Затем сформулируем правила, по которым перемножают целые положительные и целые отрицательные числа, а также числа, имеющие разные знаки. Как всегда, нашу мысль будем пояснять наглядными примерами решений задач. Далее рассмотрим те случаи, когда один из множителей нулевой или равен единице, посмотрим, как можно проверить верность результата, полученного после умножения, а в конце объясним, как правильно перемножать 3 , 4 и большее количество целых чисел.

Основные определения при умножении целых чисел

При умножении целых чисел используются те же термины и знаки, о которых мы говорили ранее в статье об умножении натуральных чисел. У нас есть два множителя, которые являются целыми числами, результат, называемый произведением, и знак умножения в виде точки, звездочки или знака » x » (в целях единообразия в дальнейшем будем использовать точку).

Если обозначить множители и произведение буквами a , b и c , то действие умножения можем записать в виде равенства a · b = c . Само числовое выражение a · b тоже называется произведением. Произведение двух целых чисел также является целым числом.

В чем состоит смысл умножения целых чисел?

До этого мы уже объясняли смысл умножения на примере натуральных чисел. Произведение натуральных чисел a и b представляет собой сумму b слагаемых, каждое из которых равно a .

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому смысл действия умножения для них точно такой же. В буквенном виде его также можно представить как

(значения a и b – целые положительные числа).

В принципе, этот смысл распространяется на все произведения, где одно слагаемое целое и положительное. Второе при этом также должно быть целым, однако оно может быть отрицательным или даже равным нулю. Так, схема умножения числа — 3 на 5 будет выглядеть как ( − 3 ) · 5 = ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) .

Если вторым множителем является единица, то результат умножения – это сумма одного слагаемого, которое равно другому множителю. Это можно записать как a · 1 = a . Результат умножения целого числа на единицу есть само это число.

А как быть в случае, если одно из множителей нулевое? Получается, что в ответе будет сумма из 0 слагаемых. Очевидно, что это будет 0 . Запишем, что a · 0 = 0 для любого целого a . Умножение целого числа на ноль дает в результате ноль.

В случае с отрицательными числами общий смысл действия умножения сформулировать достаточно сложно. Примем это действие как данность и подчеркнем, что правила умножения в таком случае должны сохранять справедливыми свойства умножения для целых положительных чисел. В частности, такое числовое выражение должно обладать переместительным и сочетательным свойствами.

Основные правила, применяемые при умножении целых чисел

Можно выполнить умножение исходя из того, что оно по сути представляет собой сложение одинаковых слагаемых. Но, как мы уже отмечали, это долгий и трудный процесс, если таких слагаемых у нас много. А если одним из множителей является отрицательное число, то воспользоваться этим способом мы не можем. Поэтому нам надо вывести особые правила для умножения целых чисел. Сформулируем и запишем их.

Как умножать одно целое положительное число на другое

Целые положительные числа относятся к натуральным, поэтому правила умножения натуральных чисел распространяются и на них. В итоге мы, разумеется, получим целый положительный результат, т.е. натуральное число. Разберем конкретные примеры.

Как правильно перемножить целые числа, имеющие разные знаки

Для того чтобы вывести правило для такого случая, приведем пример.

Итак, нам надо вычислить произведение числа — 5 на 3 . Вспомним смысл умножения и запишем: ( − 5 ) · 3 = ( − 5 ) + ( − 5 ) + ( − 5 ) = − 15 . Если учесть переместительное свойство, то должно быть верным и ( − 5 ) · 3 = 3 · ( − 5 ) . Очевидно, что модуль числа, полученного в результате, соответствует произведению данных множителей. Таким образом, произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Как умножить целое число на единицу

Мы уже упоминали, что если мы умножим на единицу любое целое число, то результат будет равен этому же числу, то есть a · 1 = a . Так как числовое выражение с умножением обладает переместительным свойством, то a · 1 = 1 · a тоже должно быть верным. Получается, что 1 · a = a . Выведем основное правило и запомним его:

Как перемножить три целых числа и более

Зная, что числовое выражение с умножением имеет сочетательное свойство, мы можем точно подсчитать произведение 3 , 4 , 5 и большего количества множителей. А благодаря остальным свойствам можно сказать, что результат произведения не будет определяться положением множителей в примере и способом расстановки скобок. Ранее мы уже приводили обоснования этих утверждений в случае с натуральными числами. Для примера с целыми множителями эти правила работают таким же образом.

Посмотрим на конкретный пример.

Найдите произведение 5 -ти множителей: 5 , − 12 , 1 , − 2 и 15 .

Решение

Заменим соседние множители их произведением и запишем, что

5 · ( − 12 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · ( − 2 ) · 15 = 120 · 15 = 1 800

С расстановкой скобок можно записать так: ( ( ( 5 · ( − 12 ) ) · 1 ) · ( − 2 ) ) · 15 . Это позволит нам делать вычисления быстрее и проще.

Можно было переставить множители и по-другому: 1 · 5 · ( − 12 ) · ( − 2 ) · 15 , в таком случае скобки надо было расставить так: ( ( 1 · 5 ) · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( 5 · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( − 60 ) · ( − 30 ) = 1 800 .

Мы видим, что результат будет одинаков вне зависимости от метода расстановки скобок и последовательности вычислений.

Ответ: 1800 .

Если хоть один из множителей в примере был бы нулевым, то подсчет не имел бы смысла. Мы сразу могли бы сказать, что результат будет равен 0 . Это не зависит от значения других множителей, они могли бы быть любыми. Обратное утверждение также будет справедливо: если произведение нескольких множителей равно 0 , то один из этих множителей будет нулевым.

Конкретный смысл действия умножение. Название чисел при умножении

К Плюсу должен приехать его маленький двоюродный брат Умножение. К его встрече Плюс хочет построить разноцветную стенку из кубиков. И еще ему надо купить столько же кубиков для брата. Подсчитывая количество кубиков разными способами, Плюс знакомит ребят с конкретным смыслом действия умножения. А заодно и с названиями чисел при умножении.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ

Конспект урока «Конкретный смысл действия умножение. Название чисел при умножении»

Та-ак, надо хорошенечко всё подсчитать. Вот малыш обрадуется!

Ой, здравствуйте, ребята! Вы знаете, ко мне должен приехать в гости мой маленький двоюродный брат. Вот он на фотографии. Братец очень любит играть с кубиками. И вот к его приезду я решил соорудить стенку из кубиков. Но, так как братец тоже является математическим знаком, он не терпит никакого беспорядка. Поэтому стеночка должна быть идеальная во всех отношениях. Вот я и пытаюсь подсчитать, сколько кубиков мне необходимо для построения такой стенки.

Пусть в основании стенки будет находиться 5 красных кубиков. Чтобы стеночка была идеально ровная и красивая, на красные поставлю 5 зелёных кубиков, потом ещё 5 жёлтых кубиков, а сверху — 5 синих кубиков. Ах, какая симпатичная стеночка получилась — ровненькая, просто идеальная.

Я думаю, малыш захочет построить ещё одну такую же, но у меня кубики закончились. Надо будет купить ещё столько же кубиков. Так, а сколько же? Надо подсчитать.

Здесь использовали сочетательное свойство сложения. Получили, что нужно купить 20 кубиков. Хотя, вы обратили внимание, что действие какое-то длинноватое получилось. Но, самое интересное, слагаемые-то все одинаковые. А, вспомнил! Для таких случаев есть специальное действие. Его-то и выполняет мой маленький братец. Ведь его имя — Умножение. И действие, которым можно заменить сумму одинаковых слагаемых тоже называется умножением.

Итак, посмотрите на стеночку и на записанное числовое выражение. В каждом ярусе стенки по 5 кубиков — 5 красных, 5 зелёных, 5 жёлтых, 5 синих. Таких ярусов — 4.

То есть, можно сказать, в этой стенке по пять кубиков четыре раза. И сейчас между числами 5 и 4 мы поставим точку. Но не внизу, как в конце предложения, а точно в центре клеточки, которая пропущена между числами 5 и 4. Эта точка и есть знак умножения.

Правда, знак очень похож на моего двоюродного братца? Хотя, мой братик очень любит переодеваться, и иногда надевает вот такой костюмчик * или вот такой ´. Но пока он носит только костюмчик-точку.

Но вернёмся к нашему действию умножения. Что же мы сделали? Мы сумму одинаковых слагаемых заменили действием умножения. То есть, вместо трёх действий у нас получилось только одно, вместо четырёх чисел в числовом выражении только два. Первое число показывает, какие должны были быть слагаемые, а второе — сколько таких слагаемых. Ну, как вам экономия времени и бумаги?

А вот посмотрите на это числовое выражение:

Ну, ничего себе, выраженьице! Целых 6 одинаковых слагаемых. Ну, понятно, получается 18. Все слагаемые одинаковые, значит, эту сумму можно заменить умножением. Получаем: все слагаемые — тройки. Поэтому первое число — 3. А теперь посчитаем, сколько троек — их 6, поэтому второе число — 6. Между ними ставлю знак умножения — точку. Получилось новое числовое выражение:

Его можно прочитать так: По три берём шесть раз. Или так: Шесть умножить на три. А иногда даже так: Шестью три.

Кстати, а знаете, как называются числа в действии умножения?

Вот когда числа складываются, мы их называем так: слагаемое + слагаемое = сумма. Действие сложение, а числа в нём — слагаемые. А вот в действии умножения числа называются множители! Первый множитель × второй множитель. Действие умножения, и числа в нём — множители. А вот результат действия умножения называется длинным и очень важным словом — произведение.

А теперь посмотрите вот на такую запись:

Давайте попробуем сделать наоборот — умножение заменим сложением. В этом выражении первый множитель — 6. Он показывает, какие числа складываются. Второй множитель — 2. Он показывает, сколько таких слагаемых. Это значит, по шесть надо взять два раза. Поэтому действие умножения мы можем заменить вот таким действием сложения:

А если заменить вот такое выражение:

Это значит, что по два надо взять пять раз. Первый множитель — 2. Это число показывает, какие будут слагаемые. Второй множитель — 5, показывает, сколько таких слагаемых. Получается вот такая запись:

Вот сравните, как выглядит сложение пяти одинаковых чисел, и как выглядит умножение. А результат один и тот же.

А как вы думаете, вот такое выражение можно заменить умножением? 7 + 6 + 3 + 4.

Я думаю, вы догадались, что нельзя. Ведь здесь нет одинаковых слагаемых. Все слагаемые разные. Так что, не всегда вместо сложения можно использовать действие умножения, а только в тех случаях, когда слагаемые одинаковые. Значит, и я вам ещё очень даже пригожусь.

Ну как, ребята, вы запомнили?

· сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением;

· знак умножения — точка;

Запись действия умножения можно прочитать так:

· 2 умножить на 7;

· по два взять семь раз;

А иногда можно услышать и такое:

· числа в действии умножения называются множителями, а результат умножения — произведением;

Действие умножение тесно связано со сложением. При этом:

· первый множитель показывает, какие числа складываются;

· второй множитель показывает, сколько одинаковых чисел складывается.

Ну, вроде бы все готово, надо только сходить за вторым комплектом кубиков. Я поскорее пойду за кубиками для маленького брата. До свидания, ребята!

Распределительное свойство умножения

Свойства умножения – это, прежде всего, возможность быстро произвести вычисление. Знание распределительного свойства поможет вам без проблем посчитать сложный пример или решить уравнение. Рассмотрим в в подробностях применение распределительного свойства умножения.

Умножение

Умножение – это сокращенный процесс сложения. Что это значит? Первый множитель это число, которое складывается само с собой число раз, равное второму множителю.

3*6=3+3+3+3+3+3=18 – вот как это выглядит на практике. Умножение было изобретено во время, когда потребовались большие вычисления, которые неудобно записывать в виде сложения.

Можно 3 раза сложить число 6, а можно 6 раз сложить число 3. Результат от этого не поменяется, в этом заключается смысл переместительного свойства умножения.

Умножение позволило решить достаточно много проблем, но вместе с ним в математику пришло и деление, как противоположная операция.

Свойства умножения

Всего у умножения 3 свойства:

  • Переместительное: от перемены мест множителя произведение не меняется. Для произведения в 2 множителя это не критично, но для примеров с 3 и более множителями, это свойство может сэкономить время.
  • Сочетательное свойство. Это свойство так же используется для примеров от 3 и более множителей. Суть свойства в том, что можно перемножить первые два множителя, а потом результат умножить на третий. Причем порядок перемножения может быть любым.
  • Распределительное свойство. Это свойство применяется для умножения числа на сумму или разность. Это свойство сокращает время решения при правильном подходе. Суть свойства в том, что при умножении числа на сумму или разность, то можно каждое слагаемое умножить на число, а потом выполнить сложение.

Распределительное свойство

Распределительно свойство можно использовать для быстрого расчета. Рассмотрим большой пример для 6 класса с применением этого свойства умножения:

Обратите внимание, что пример представляет собой сумму слагаемых, каждый из которых представлен произведением. Рассмотрим каждое произведение в отдельности, а потом сложим результаты.

  • $$(<3\over<4>>-<2\over<8>>)*(18-16)$$ – Найдем значение дроби в первой скобке, а затем умножим его на уменьшаемое и делитель во второй скобке по распределительному свойству.

$$<1\over<2>>*18-<1\over<2>>*16=9-8=1$$ – такие ответы иногда бывают в сложных на вид примерах.

  • $$<1\over<15>>*((13+30)-(16-3))$$ – здесь слишком много слагаемых, чтобы использовать распределительное свойство, поэтому просто выполним действия во второй скобке и произведем умножение:
  • $$<16\over<17>>*(-34+17)$$ – обратите внимание, в знаменателе дроби стоит число 17, которое является делителем для чисел в скобках. Это признак того, что можно и нужно воспользоваться распределительным свойством умножения.
  • $$(<20\over<21>>-<38\over<42>>)*(<7\over<3>>+<56\over<3>>)$$ – если посмотреть на вторую скобку, то видно, что в ней можно выполнить сложение дробей без приведения к общему знаменателю.

$$(<7\over<3>>+<56\over<3>>)=<63\over<3>>=21$$ – теперь воспользуемся распределительным свойством и умножим число 21 на каждое из чисел в скобках:

  • Сведем все получившиеся значения в один пример и вычислим результат:

1+2+16-1=18 – вот такой маленький ответ получился в большом примере.

При решении этого примера, важно понять, что не всегда нужно использовать распределительное свойство умножения. Важно понимать, когда лучше им воспользоваться, а когда решить другим путем.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое умножение. Поговорили о свойствах умножения и особенно выделили распределительное свойство умножения. Решили большой пример на тему применения этого свойства.

Базовые математические операции и их свойства

Математическая операция, простыми словами — это вопрос, требующий ответа. Далее будем использовать именно эту формулировку. В зависимости от цели, операции разделяют на 2 типа: вычислить, чтобы сравнить, или по-другому: операции действия и операции отношения.

Преобразование математических операций — это переформулирование вопроса, оно поможет нам понять, что такое логарифм и почему при делении на дробь, ее нужно перевернуть и другие вопросы.

Операции отношения (сравнения)

Ответом на этот тип операций будет: да или нет.

  • равно (=)
  • больше (>)
  • меньше ( <)
  • больше или равно (≥)
  • меньше или равно (≤)
  • не равно (≠)

Операции действия

Ответом на этот тип операций будет число. Запись нескольких одинаковых операций можно представить в виде другой операции, например запись нескольких одинаковых сложений обозначают одной операцией умножения. В математике нет предела операциям действия, всегда можно придумать новую операцию на основе предыдущей.

Обозначим операции в виде уровней. На каждом уровне есть прямая и обратная(ые) операции и каждый следующий уровень — это гипероперация предыдущего уровня. Что такое гипероперация, говорим ниже.

  1. Сложение и Вычитание
  2. Умножение и Деления
  3. Степень, Корень и Логарифм
  4. Тетракция, Суперкорень и Суперлогарифм
  5. Пентация.
  6. Гексация.
  7. Гептация.
  8. Нет предела количеству операций

В этой лекции познакомимся с первыми тремя уровнями.

Гипероперация

Гипероперация, простыми словами — краткая запись нескольких одинаковых операций.

Например, умножение — это гипероперация сложения, то есть краткая запись нескольких операций сложения.

Умножение — это гипероперация сложения

Степень — это гипероперация умножения, то есть краткая запись нескольких операций умножения.

Степень — это гипероперация умножения

На этом основаны свойства всех операций, все операции — это краткая запись сложения/вычитания.

Потому нет конца количеству операций, для любой повторяющейся операции можно придумать сокращенную запись и это будет новой операцией, а для каждой операции существует как минимум одна обратная операция.

Сложение и Вычитание

Сложение

Сложение — это увеличение, а также перемещение. Применяют когда нужно узнать количество объектов, а также когда нужно узнать местоположение.

Элементы сложения. Слагаемое + слагаемое = сумма

Вычитание

Вычитание — это уменьшение, перемещение, а также разница. Это обратная операция сложению, используется в тех же ситуациях, что и сложение, а также когда нужно узнать различие между величинами.

Элементы вычитания. Уменьшаемое — вычитаемое = разность

Сложение и вычитание — базовые операции: умножение, степень и прочие в конечном итоге превращаются в сложение или вычитание.

Взаимосвязь сложения и вычитания и их элементов

На иллюстрации изображена взаимосвязь элементов и операций. Переход из одной операции в другую — это переформулирование вопроса: когда в одном случае ответ неочевиден, можно представить операцию в другом виде. Этот прием используем в лекции «почему при делении дробь переворачивается».

Взаимосвязь сложения и вычитания и их элементов

Свойства сложения и вычитания

Свойства сложения и вычитания

Переместительное свойство сложения и вычитания

  • a + b = b + a
  • a — b = (-b) + a

Суть: слагаемые можно менять местами, результат останется прежним, даже когда слагаемых много, даже когда часть слагаемых отрицательные.

Представьте себе Енота-Волшебника. Он отправился на поиски приключений. Шел в одном направлении. Вначале шел через лес, затем через поле. В конце дня возвращался домой, через поле и через лес соответственно.

Пройденное расстояние никак не изменилось, шел он через лес, а затем через поле или наоборот. Значит очередность не важна, результат будет один и тот же. По-другому это звучит так:

От перестановки слагаемых, сумма не меняется.

Строго говоря, вычитание — это тоже сложение, но в противоположную сторону, или, другими словами, с противоположным знаком. Поэтому можно менять местами не только положительные числа, но и отрицательные.

Енот-Волшебник в ветреную погоду использует магию левитации. Он прошел немного навстречу ветру, после чего взлетел и ветер отбросил его назад. Это то же самое, если бы Енот вначале отлетел назад, а потом прошел вперед.

От перестановки слагаемых, сумма не меняется, даже если это отрицательные слагаемые

Также переместительное свойство называют коммутативностью. Не только сложение обладает этим свойством.

Переместительное свойство сложения

Переместительное свойство вычитания

Сочетательное свойство сложения

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = (a + с) + b

Суть: слагаемые можно группировать, результат не изменится.

Енот шел по лесу и собирал грибы. Набрал в оба кармана и еще в руках нёс. Он может сложить грибы из двух карманов в один, или положить грибы из рук в любой из карманов, количество грибов от этого не изменится. Но не советую носить грибы в карманах, пожалейте брюки.

Также сочетательное свойство называют ассоциативностью.

Сочетательное свойство сложения

Вычитание числа из суммы

Суть: слагаемые можно группировать, результат не изменится, даже если присутствуют отрицательные числа.

Вычитание числа из суммы

Вычитание суммы из числа

a — b — c = a — (b + c)

Суть: отрицательные слагаемые с общим знаком можно сложить между собой, а затем отнять их сумму.

Енот сварил большой чан волшебного варенья. Он может разлить варенье по нескольким маленьким банкам, а может налить в одну большую, равную по объему маленьким, результат будет одинаков.

Это свойство участвует в доказательстве, почему минус на минус дает плюс.

Вычитание суммы из числа

Свойство нуля

a + 0 = a; a — 0 = a

Суть: неважно, прибавляем ли мы «ничего» или убавляем, результат останется прежним.

Это позволит совершать магию преобразований над выражениями, но об этом позже.

Умножение и Деление

Умножение — это сокращенная запись нескольких операций сложения или по-другому, гипероперация сложения.

Умножение — это сокращенная запись сложения

Умножение

Умножение — это операция, которая отвечает на вопрос, какое получится произведение, если один множитель взяли заданное количество раз.

Элементы умножения. Множитель × множитель = произведение

Смысл — содержание. Когда знаем, что одни объекты содержат другие объекты можно узнать общее их количество.

Сколько золота в сундуках, если в сундуке 700 монет, а сундуков 10?

700 + 700 + . так 10 раза — громоздко. Так родилась идея сокращенной записи сложения — то есть умножения.

Деление

Деление — это операция, обратная умножению. Она отвечает на вопрос, какое число получим, если делимое разделим на делитель.

Элементы деления. Делимое ÷ делитель = частное

Смысл — содержание. Когда есть множество объектов А и хотим узнать на сколько других объектов В можно разбить, так чтобы объекты В содержали объекты А.

В кошелек помещается 100 монет, сколько нужно кошельков, чтобы переложить все монеты из предыдущего примера?

Взаимосвязь умножения и деления и их элементов

Взаимосвязь умножения и деления и их элементов

Свойства умножения и деления

Свойства умножения и деления

Свойство единицы и свойство нуля

Суть: когда возьмем что-то только один раз, мы это и получим. Когда возьмем нисколько раз, то есть 0 раз, то получим ничего, то есть 0.

Для доказательства используем метод перебора.

Свойство единицы и свойство нуля

Деление равных чисел и свойство единицы

a ÷ a = 1; a ÷ 1 = a

Суть: когда одни объекты А раскладываем по объектам В и количество этих объектов равно, то в каждом объекте В будет по одному объекту А.
Когда все объекты А положили в один объект В, в объекте В будут все объекты А.

Взяли 10 желудей и 10 горшков, в каждый горшок посадим по желудю, или математическим языком: a ÷ a = 1
Если только 1 большой горшок — все семена посадим в него, или математическим языком a ÷ 1 = a

Для доказательства воспользуемся методом перебора.

Деление равных чисел и свойство единицы

Свойство нуля

0 ÷ a = 0; 0 × a = 0

Суть: пустоту, то есть ноль, можно сколько угодно пытаться делить или умножать, это так и останется пустотой.

Переместительное свойство умножения

Суть: множители можно менять местами, результат не изменится.

Умножение двух множителей можно представить в виде площади прямоугольника. Простейший пример — два множителя. Неважно, умножим мы количество строк на количество столбцов или наоборот, площадь не изменится.

Также переместительное свойство называют коммутативностью.

Переместительное свойство умножения

Сочетательное свойство умножения

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) = (a × c) × b

Суть: множители можно группировать (то есть заключать в скобки) как удобно, результат не изменится.

Для демонстрации возьмем три множителя: длину, ширину и высоту (a, b, c) и прямоугольную призму. Неважно как мы группируем части призмы, объём останется прежним.

Сочетательное свойство умножения

Распределительное свойство относительно сложения

c (a + b) = ac + bc

Суть: при умножении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.

Площадь двух маленьких прямоугольников ac + bc — то же самое что и площадь одного большого прямоугольника c (a + b)

Распределительное свойство относительно сложения

Распределительное свойство относительно вычитания

c (a — b) = ac — bc

Суть: при умножении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.

Площадь двух маленьких прямоугольников ac — bc, когда один вычитаем из другого — то же самое что и площадь одного маленького прямоугольника c (a + b)

Распределительное свойство относительно вычитания

Деление можно представить в виде умножения дроби

Вспомните переместительное свойство вычитания: a — b = (-b) + a

Обратите внимание, и сложение, и умножение обладает коммутативностью, или, другими словами, от перестановки элементов результат не меняется. При этом в сложении менять местами даже отрицательные слагаемые, то есть обратную операцию для сложения.

Взглянем на эту запись: a ÷ b

Можно ли поменять местами элементы? Можно! Но как это записать?
a ÷ b = ÷ b × a

запись ÷ b × a некорректна, потому что ÷ b неясно к чему применять.

Чтобы это исправить пишут: 1 ÷ b

И тогда корректное перемещение деления выглядит так:

a ÷ b = 1 ÷ b × a

Также деление можно представить в виде дроби:

a ÷ b = 1 ÷ b × a → a × 1/b = 1/b × a

На иллюстрации представлено графическое доказательство.

Деление можно представить в виде умножения дроби

Зачем это нужно: свойства деления основаны именно на этой закономерности.

Деление произведения на число

a × b ÷ c = (a × b) ÷ c = a × (b ÷ c)

Суть: множители можно группировать (то есть заключать в скобки) как удобно, результат не изменится, даже если множители представляют собой деление.

Это следствие из сочетательного свойства умножения
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
Как мы выяснили выше в теме деление можно представить в виде умножения дроби, это ÷ c и это 1/с — одно и то же:

a × b ÷ c = (a × b) ÷ c = a × (b ÷ c) → a × b × 1/c = (a × b) × 1/c = a × (b × 1/c)

Деление суммы и разности

(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c

Суть: при делении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.

Основано на распределительных свойствах умножения относительно сложения и вычитания.

Достаточно деление превратить в умножение на дробь, и это свойство превращается в распределительное свойство:
(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c → (a ± b) × 1/c = a × 1/c ± b × 1/c

Деление числа на произведение

a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c

Суть: отрицательные множители (деление) с общим знаком можно перемножить между собой, а затем разделить их произведение.

Это свойство аналогично вычитанию суммы из числа.

Воспользуемся математической магией:

  1. представим в виде дроби a ÷ (b × c) → a × 1/(b × c)
  2. раскроем скобку a × 1/(b × c) → a × 1/b × 1/c
  3. сгруппируем a × 1/b × 1/c → (a × 1/b) × 1/c
  4. дроби превратим обратно в деление: (a × 1/b) × 1/c → (a ÷ b) ÷ c
  5. Отсюда a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c

Степень, Корень и Логарифм

Степень — это гипероперация умножения, то есть, сокращенная запись нескольких операций умножения.

Смысл — степень, корень и логарифм позволяет работать со сложными процентами, с вероятностями и другими явлениями, в которых используется множественное умножение.

Степень — это сокращенная запись умножения

Степень

Степень — это операция, которая отвечает на вопрос, сколько будет, если основание степени умножить на количество указанное в показателе степени

Корень

Корень — операция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос, какое число возвели в степень корня, чтобы получить подкоренное выражение.

Часто можно встретить символ корня без обозначения степени √ подразумевается, что это корень второй степени.

Логарифм

Логарифм — операция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма.

Существует 3 вида логарифмов: обычные, десятичные и натуральные.

Десятичный логарифм — логарифм с основанием равным 10.

Натуральный логарифм — логарифм с основанием равном экспоненте (e).

Взаимосвязь степени, корня и логарифма

Взаимосвязь степени, корня и логарифма

Где используют степени в жизни

Представьте, что у вас есть счет в банке на 100₽. Каждый месяц счет увеличивается на 3% от суммы счета на начало месяца. Сколько будет на счете к концу года?

Может показаться что правильное решение такое: 3% × 12 месяцев = 36%, тогда 36% × 100₽ = 136₽, но это ошибка. Важно учитывать, что 3% начисляется от суммы счета каждый месяц.

Правильное решение: (((((((((((100₽ × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%

Выглядит эта запись страшно! Можно ли ее упростить? — Да!

Применим математическую магию: сочетательное свойство умножения:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) = (a × c) × b

Его суть: группировки, то есть скобки, не влияют на результат.

100₽ × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3%

Важная оговорка, чтобы возвести процент в степень, нужно записать его в виде дроби: 3% → 1.03, почему именно так, поговорим позже, пока это неважно. Степень — это сокращенная запись умножения, значит можно записать так:

Подобные вычисления называются сложным процентом. Степени незаменимы в них.

Если бы хотели узнать баланс счета через 10 лет. Без использования степени это будет больно.

Где используют корни в жизни

Представьте обратную ситуацию: за год баланс счета увеличился на 48%, на сколько процентов увеличивался баланс в среднем за месяц?

Ответ 4% — неправильный, нельзя просто поделить 48% на 12 месяцев, потому что использовался сложный процент. Нужно использовать корень, потому что 48% — это результат работы степени, а корень — это обратная операция для степени.

Прежде всего 48% представим в виде дроби: 1.48

Правильный ответ ≈3.3%

Где используют логарифмы в жизни

Вы ищете вторую половинку. Вероятность, что он(она) свободен/свободна, пусть будет 30%, также вероятность того, что вы ему(ей) понравитесь — 30%, что он(она) вам понравится — 30% и 70% что он(она) не курит. Переведем проценты в дроби и перемножим, чтобы получить общую вероятность: 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.7 = 0.0189 или 1.89%.

По законам вероятности, которые мы будем изучать позже, вероятность противоположного события уменьшается с количеством попыток. Когда вы кидаете монетку 1 раз, какова вероятность, что орел не выпадет? — 50%. А если подкинете 2 раза, какова вероятность, что орел не выпадет? Уже 50% * 50% = 25%. C увеличением количества попыток вероятность будет все меньше.

Вероятность, что вы не встретите свою половинку с первой попытки равна 100% — 1.89% = 98.11% = 0.9811.

Если вы совершите 3 попытки, то вероятность не встретить половинку:
0.9811 × 0.9811 × 0.9811 = 0.9443

Можно долго вычислять, сколько нужно попыток, чтобы довести вероятность не найти половинку до 0.1%, можно воспользоваться логарифмом.

Логарифм спрашивает в какую степень нужно возвести нижнее число, чтобы получить верхнее:

Другими словами сколько нужно сделать попыток, чтобы вероятность не встретить половинку была 0.1% и ответ — 362 попытки.

Свойства степеней и корней

Свойства степеней и корней

Свойства логарифмов

При умножении степени складываются

Суть: степень — это сокращенная запись умножения, значит при умножении одинаковых чисел показатели степени можно сложить

При умножении степени складываются

На этом основано это свойство логарифмов

При деление степени вычитаются

Суть: степень — это сокращенная запись умножения, значит при делении одинаковых чисел показатели степени можно вычесть

При деление степени вычитаются

На этом основано это свойство логарифмов

Число в первой степени — это само число

Число в первой степени — это само число

В какое число нужно возвести число, чтобы получить само число? — в первую степень.

Число в нулевой степени — это единица

Число в нулевой степени — это единица

В какую степень нужно возвести число, чтобы получить единицу? — в нулевую степень.

Отрицательная степень числа — это единица деленная на число в этой степени

Воспользуемся методом подставки для наглядности.

Отрицательная степень числа

Дробная степень числа — это число под корнем

Степень корня равна знаменателю дроби степени: 1/n → корень n-ой степени.

Воспользуемся методом подставки для наглядности.

Дробная степень числа

Степень в степени = умножение степеней

Воспользуемся методом подставки для наглядности.

Степень в степени

Корень — то же степень, но дробная.

Все последующие свойства логарифма доказываются математически на основе свойства степени (степень в степени). Догадаетесь почему?

Произведение в степени равно перемноженным множителям в степени

Воспользуемся методом подставки для наглядности.

Как умножать числа с одинаковыми степенями

Корень — то же степень, но дробная.

Помним, что деление — это тоже умножение, но на дробь.

Из предыдущих двух свойств получается это

Заключение

Математическая операция — это вопрос, требующий ответа. Это авторское определение. Превращение одной операции в другую — переформулирование вопроса, это пригодится в лекции «почему дробь при делении переворачивается».

В зависимости от цели, операции разделяют на 2 типа: вычислить чтобы сравнить, или по-другому: операции действия и операции отношения.

Операции отношения

  • равно (=)
  • больше (>)
  • меньше ( <)
  • больше или равно (≥)
  • меньше или равно (≤)
  • не равно (≠)

Операции действия

  1. Сложение и Вычитание
  2. Умножение и Деления
  3. Степень, Корень и Логарифм
  4. Тетракция, Суперкорень и Суперлогарифм
  5. Пентация.
  6. Гексация.
  7. Гептация.
  8. Нет предела количеству операций

Гипероперация — краткая запись нескольких других операций.
Умножение — гипероперация, то есть краткая запись нескольких операций сложения. Возведение в степень — гипероперация, то есть краткая запись нескольких операций умножения. Поэтому нет предела количеству операций действия, на каждую операцию можно придумать гипероперацию.

Сложение — это операция увеличения или перемещения. Вычитание — это обратная операция сложению, содержит в себе тот же смысл, что и сложение: уменьшение и перемещение.

Умножение — это операция содержания, а также гипероперация сложения. Деление — операция содержания, обратная умножению.

Степень — это гипероперация умножения. Используется для вычисления сложного процента, работы с вероятностями и другими операциями, где умножение одних и тех же показателей используется несколько раз. Корень и Логарифм — это две обратные операции для степени.
Корень — какое число возвели в степень корня, чтобы получить подкоренное выражение. Логарифм — в какую степень нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *