Какое значение не может принимать квадрат числа
Перейти к содержимому

Какое значение не может принимать квадрат числа

  • автор:

О диагонали квадрата

Введение в оборот комплексных чисел было далеко не первой революцией в понимании человеком природы числа. За две тысячи лет до этого мощнейшее потрясение испытал мир древнегреческой математики.

Неприятности у пифагорейцев начались далеко не сразу. Основанная Пифагором научная школа в итоге кончила плохо, но сегодняшний рассказ не о том бодром погроме, который был учинен над пифагорейцами благодарным за просвещение народом, а в большей степени о духовных перипетиях.

Термин «научная школа» по отношению к организации, основанной Пифагором, является эдаким эвфемизмом. Здраво взглянув на ее структуру и применяемые технологии, пифагореизм следует смело отнести к тоталитарным культам, что было вполне в духе времени (впрочем, это всегда в духе времени, вечная классика). Наличествовало и разделение на степени посвящения, и сложная система ритуалов с запретами (например, общеизвестные, вроде «не есть бобов» или «не откусывать от целой булки»), и сложное философское вероучение. Привет Рону Хаббарду сотоварищи. Ничто не ново под Луной.

В целом, при жизни Пифагора его «школа» была солидным предприятием, к тому же обладающим значительным и все время растущим политическим влиянием.

Вообще, философия Пифагора оказала значительное влияние на западную культуру (и на нас в том числе). Многие идеи нашли свое развитие в классической греческой философии, а уже про теорему Пифагора знают вообще все. Выражение «гармония сфер», кстати, также восходит к пифагорейцам.

Одним из существенных элементов их философии была идея, что любое число можно представить как отношение двух целых чисел, то бишь в виде простой дроби. В этом они, в том числе, видели совершенство природы числа. Больше того, это представлялось вполне очевидным. В современной математике такие числа называются рациональными, а их множество обозначается знаком . Сделайте теперь паузу на несколько секунд, задумайтесь, откуда вообще следует, что это не так? Можете ли вы привести аргумент, который был бы достаточно убедителен для древнего грека? Ну или, хотя бы, достаточно убедителен для себя, лично?

В общем, мир чисел был прост, изящен, и все были довольны. Источником возникших неприятностей, неожиданно, стала уже помянутая теорема, носящая имя Пифагора: одно из важнейших, дошедших до нас, его достижений. К сожалению, доказательство самого Пифагора нам неизвестно. Самое старое из дошедших до нас — приведено в «Началах» Евклида и датируется 3 в. д.н.э. Напомню, сам Пифагор жил в 6 в. д.н.э.

Фрагмент из Vatican Manuscript Number 190, датируемого 10 в. н.э. (целиком здесь):

Доказательство Евклида далеко не самое простое. Есть основания считать, что он знал путь и попроще, но из методических соображений привел именно этот вариант, демонстрирующий, помимо собственно теоремы Пифагора, и некоторые другие интересные идеи.

Однако, вернемся к пифагорейцам.

Вот представьте себе простейшую вещь: квадрат со сторонами единичной длины. Если обозначить длину его диагонали , то по теореме Пифагора получим:

Само-то по себе это еще не проблема. С точки зрения пифагорейцев, дальше просто нужно было найти целые числа и , такие что

Вот на этом-то «простом» моменте все и застопорилось. Причем наглухо. Стопор сей продолжался до тех пор, пока один умник (как утверждают, Гиппас из Метапонта, тоже пифагореец), не доказал, внезапно, что таких чисел не существует. Все зло от шибко умных идет, как известно. По легенде, это научное достижение столь потрясло коллег, что, в ознаменование признания научных заслуг, Гиппаса не медля вышвырнули за борт корабля, на котором он в момент своего математического озарения плыл. А вот нечего было гадить уважаемым людям, подрывать основы столь любовно выпестованной и весьма доходной философской системы.

Ныне, числа не представимые в виде отношения двух целых, называются иррациональными.

Некоторое время пифагорейцы даже держали факт иррациональности в секрете. Однако, шила в мешке не утаишь, и правда довольно быстро (по историческим меркам) нашла путь наружу.

Доказать иррациональность совсем не сложно.
Пусть существуют такие , что

Более того, будем считать, что хотя бы одно из чисел — нечетно. Если это не так, числитель и знаменатель дроби всегда можно сократить на 2 (нужное количество раз).
Тогда получим:

Таким образом, — четное число. Но тогда и — четное.

По условию нечетности хотя бы одного из чисел , получим, что — нечетно.
В силу четности , можно записать
,
где — некоторое целое.
Но тогда:

Но это означает, что — четно, а значит четно и . Противоречие.

Число невозможно представить в виде отношения двух целых чисел.

Остается добавить, что — это вовсе не какой-то странный уродец. Можно показать, что иррациональных чисел больше, чем рациональных, принципиально больше. Кстати, отношение больше-меньше в мире бесконечных множеств само бывает весьма контритуитивным. Но это уже другая история.

PS. Пользуясь случаем, поздравляю хабровчан с наступающими. Удачи в новом году!

UPD. В связи с разгоревшейся в комментариях дискуссией хочу заметить следующее: если по-честному, то рациональные числа вводятся как поле частных кольца целых чисел. Использовать ли в качестве мультипликативной системы множество или множество — сугубо дело вкуса, никак не влияющее на результат. Вопрос же, какое из школьных псевдоопределений «верно», решается министерством образования, и к математике этот процесс имеет весьма отдаленное отношение.

  • математика
  • история математики
  • иррациональные числа

Квадрат числа в математике и программировании

В этой статье мы поговорим, что такое квадрат числа, как его найти, а также каким образом производятся подобные вычисления в программировании.

Квадратом Х называют произведение 2-х множителей, каждый из которых равен Х.

Обозначение квадрата осуществляется с помощью степени, то есть Х² читается «Х в квадрате».

Если говорить еще более простым языком, то квадратом можно назвать число, которое умножено само на себя. Таким образом, мы можем написать простейшую формулу вычисления Х 2 :

Почему вообще такое выражение называют квадратом X? Дело в том, что именно данной формулой выражают площадь квадрата, сторона которого равна X, то есть геометрически это значение можно представить в виде площади квадрата, имеющего целочисленную сторону.

Вывод тут прост: для решение поставленной задачи следует требуемое значение взять в качестве множителя дважды, а потом вычислить произведение. Соответственно:

10 2 = 10 ⋅ 10 = 100

Это все элементарно и проходится в начальных классах средней школы. Решить такой пример в математике не проблема, а когда числовые значения выходят за рамки классической таблицы умножения, используют таблицу, ускоряющую расчеты.

Квадрат числа в математике и программировании

Также описанную математическую операцию можно рассматривать в контексте частного случая возведения в степень — ведь именно этим, по сути, она и является — возведением в степень 2.

Интерес представляет и числовая последовательность для квадратов целых чисел, являющихся неотрицательными (речь идет о последовательности A000290 в OEIS):

Квадрат числа в математике и программировании

Нельзя не сказать и про график y=x², где представлены целые значения x на отрезке 1-25.

Квадрат числа в математике и программировании

Квадратные числа

Если же говорить о натуральных числах из последовательности, упомянутой выше, в историческом контексте, то их всегда называли «квадратными». Квадратное числовое значение также называют полным либо точным квадратом, то есть целым значением, квадратный корень из которого можно извлечь нацело. К примеру, найти корень из 9 несложно (√9 = 3, т. к. 3 ⋅ 3 = 9). Не составляет проблем и вычислить корень из ста: (√100 = 10, ведь десять на десять равно сто).

Квадрат числа в математике и программировании

Легко понять, что сто — это квадратное число, так как его можно записать в виде 10 ⋅ 10 , плюс оно может быть представлено, как было сказано выше, в качестве площади квадрата со стороной, равной десяти. Таким образом, можно сделать вывод, что квадратное число включено в категорию классических фигурных чисел, то есть чисел, которые мы можем представить в виде геометрических фигур. Но в эту тему углубляться пока не будем.

А что в программировании?

Теперь давайте посмотрим, как все это работает в программировании. Для примера возьмем такой язык программирования, как Java (кстати, статья о том, как выполнять возведение в степень в Java, уже была).

Напишем простой метод по возведению любых числовых значений в квадрат:

public class Main

static int square(int x)

public static void main(String[] args)

Вы можете воспользоваться любым онлайн-компилятором для проверки этого кода. Также никто не мешает вписать любое число вместо десяти.

Квадрат числа в математике и программировании

Теперь воспользуемся простейшей программой для того, чтобы найти квадратный корень из 100:

public class Main

public static void main(String args[])

System.out.printf(«sqrt(%.2f) = %.2f%n», x, Math.sqrt(x));

Программа позволяет извлекать корень и из неквадратных значений. Ниже мы находим корень из 167:

Квадрат числа в математике и программировании

Да, в современную эпоху калькуляторов мало кто считает в уме. Вдобавок ко всему, сегодня даже не надо покупать настоящий калькулятор, так как калькулятор есть в любом мобильном телефоне, не говоря уже об онлайн-калькуляторах, коих существует огромное количество. Однако это не значит, что можно забыть азы алгебры. Не зря же великий русский ученый Михаил Ломоносов когда-то сказал:

Квадрат числа в математике и программировании

  • https://calculator888.ru/tablitsa-kvadratov;
  • http://www.for6cl.uznateshe.ru/kvadrat-chisla/;
  • https:/ru.wikipedia.org/.

Проверка, является ли число квадратом целого числа

Учитывая целое число, определите, является ли оно квадратным числом: В математике квадратное число или идеальный квадрат — это целое число, являющееся квадратом целого числа; другими словами, это произведение некоторого целого числа на самого себя. Примеры: -1: False, 0: True, 25 True | CodeWars Первый вариант решения проходит все тесты, но не проходит по времени:

if n ==0: return True else: for i in range(0,n): if i*i==n: return True else: return False 

Второй вариант не проходит 3 теста (на 3, 26 и секретный):

if n == 0: return True elif n 

Почему второй вариант не проходит данные тесты? Нужен вариант, который занимает мало времени (не попадёт под ошибку Execution Timed Out (12000 ms) , а также не используются библиотеки.

Отслеживать
задан 6 июл 2022 в 5:06
user507635 user507635
if n ** 0.5 == 1 Что вы тут проверяете? ��
6 июл 2022 в 5:11
Почему не просто что-нить типа if ( (int) (n ** 0.5) ) ** 2 == n ?
6 июл 2022 в 5:16

@Akina В питоне приводить к инту надо вызывая его как функцию, это не C# ) Но так то вопрос совершенно точный

6 июл 2022 в 5:17
Если у вас питон 3.8: return math.isqrt(n) ** 2 == n
6 июл 2022 в 6:05
(n**.5).is_integer()
6 июл 2022 в 6:26

4 ответа 4

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Простейшее быстрое решение для любого целого числа - двоичный поиск для получения целой части квадратного корня и прямая проверка что его квадрат равен исходному числу:

def isqrt(n): low = 0 high = n + 1 # + 1 to process 0, 1 properly while low < high - 1: mid = (low + high) // 2 if n < mid ** 2: high = mid else: low = mid return low def is_square(n): return n >= 0 and isqrt(n) ** 2 == n 

Отслеживать
ответ дан 6 июл 2022 в 11:57
Stanislav Volodarskiy Stanislav Volodarskiy
34.1k 3 3 золотых знака 20 20 серебряных знаков 56 56 бронзовых знаков

Нет смысла делать цикл до n . Это примерно 100500 лишних операций в среднем. Если n равно 10001, то получится 9900 лишних итераций, ведь квадрат любого числа больше 100 уже больше 10000, так зачем их проверять. Нужно делать цикл до квадратного корня из n

if n == 0: return True else: for i in range(n + 1): i2 = i * i # квадрат очередного числа if i2 == n: return True elif i2 > n: # если квадрат больше n, то нет смысла проверять дальше break return False # тут я убрал else и перенес строчку на уровень выше. Разницы никакой нет, а читаемость улучшилась. 

Прибавление 1 позволяет убрать первую проверку на 0. Так что мы эту проверку лучше заменим на проверку отрицательных чисел:

if n < 0: return False else: for i in range(n + 1): i2 = i * i if i2 == n: return True elif i2 >n: break return False 

Отслеживать
ответ дан 6 июл 2022 в 7:36
26.7k 7 7 золотых знаков 32 32 серебряных знака 49 49 бронзовых знаков
Прежде чем я воспользуюсь функцией math.sqrt(), мне придётся совершить import, что запрещено.
– user507635
6 июл 2022 в 7:44
Ну сорян, в условиях этого не написано ��‍♂️
6 июл 2022 в 7:48
Да вообще непонятно, зачем нужен цикл, если можно просто взять корень и проверить, что он целый )
6 июл 2022 в 7:51

Дописал, а так же попробовал брать 2 - n, время сократилось на 0.04ms в тесте, но этого недостаточно.

– user507635
6 июл 2022 в 7:54
исправил на без квадратного корня
6 июл 2022 в 8:21

Приведу, как ответ, так как часто сам сталкиваюсь с таким в задачах, а в комментариях именно этого способа не вижу. Хотя, если у вас случай именно для простого возведения в степень, то здесь вариант ниже не поможет. А вот в ряде схожих случаев будет просто необходим. Спасибо @CrazyElf за очень ценный комментарий к первому варианту ответа.

Использование оператора возведения в степень ** и деления по модулю % (а они часто используются вместе, при хэшировании, например) обычно затратно по времени при больших числах. В этом случае лучше использовать встроенную функцию pow .

К примеру, в случае возведения трехзначного числа в трехзначную степень ** ещё работает быстрее, чем pow , а вот для четырехзначных - уже наооброт. См. пример ниже сделанный на моем (далеко не самом новом) ноуте.

import timeit import math print(timeit.timeit ('pow(5362, 2445)')) # 142 секунды print(timeit.timeit ('5362**2445')) # 147 секунд print(timeit.timeit ('(526 ** 252) % 10145')) # 2.87 секунды print(timeit.timeit ('pow(526, 252, 10145)')) # 0.90 секунд 

Особо важно это при всевозможных множественных применениях возведения в степень в программе, включая рекурсивные и т.д., т.е. при большом числе таких операций.

Примечание: Есть ещё pow в библиотеке math , но с ним вообще что-то странное. Например, pow(53, 244) считается без ошибок, а math.pow(53, 244) выдает OverflowError: math range error . Так что его тут не рассматриваю.

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:

– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .

Например: – линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: , в котором:

– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как насчёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: . Её можно записать, как произведение двух матриц:

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: , единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: .

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

– его транспонированная строка;

матрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты при квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, – в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель называют дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицырангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы , то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае . Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое дважды содержит 1-ю переменную, поэтому ;

– из аналогичных соображений определяем и сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: .

Так как в слагаемое входят 1-я и 2-я переменная, то (не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: .

Поскольку в форме отсутствует член с произведением (а точнее, присутствует с нулевым множителем: ), то , и на холст отправляются два нуля: .

И, наконец, из слагаемого определяем , после чего картина завершена:
– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» , но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы . Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, , то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор , значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
, значит,

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: , ранг равен трём, дискриминант

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме .

Как отмечалось в начале урока, переменные могут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение , например:

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору ставится в соответствие определённое число . Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

А может и не быть:

– всегда, если только одновременно не равны нулю.

– для любого вектора , кроме нулевого .

И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой; если же – то отрицательно определённой.

И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения найдём её собственные значения:

Решаем старое доброе квадратное уравнение:

, значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:

и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы :

, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы из Примера 1:

первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму и её матрицу из Примера 2:

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.

, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно, если – то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы , при которых .

Здесь можно привести такой «баян»:

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:

и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительность формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор -го порядка неположителен, если – нечётное либо неотрицателен, если – чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:

Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:

Вычислим угловые миноры:

третий определитель я раскрою по 3-й строке:

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:

умножим обе его части на , сменив у неравенства знак:
, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительность. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:

Второе неравенство уже решено: , и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: .
Таким образом, имеем совместную систему:

из которой следует, что форма определена отрицательно при . Например, если :
– то при любом ненулевом векторе данная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если , то:

Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительность формы. Запишем матрицу формы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:

Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительность формы, иными словами, , причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях .

Ответ: при форма определена отрицательно, при неположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Решения и ответы:

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:

Квадратичная форма двух переменных имеет вид , в данном случае: . Запишем форму в матричном виде:

Проверка:

что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:

Поскольку , то ранг формы равен двум.

Ответ: , , ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали , следовательно:

Симметричные коэффициенты 1-й строки: , таким образом:

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: , и:

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:

и вычислим её угловые миноры:

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:

и вычислим её угловые миноры:

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
,
шесть главных миноров 2-го порядка:

четыре главных минора 3-го порядка:

и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы и вычислим её угловые миноры:

Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. и остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:

– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *