Что такое производная в математике простыми словами
Перейти к содержимому

Что такое производная в математике простыми словами

  • автор:

Что такое производная?

Среди всех тем по алгебре в старших классах, на мой взгляд, самой полезной является тема производных. У производной широкое практическое применение в различных областях науки. Большинство аналитических задач решаются именно с ее помощью. Производная дает нам возможность оценить, как достичь наибольшей выгоды, обладая текущими средствами.

Например, руководитель завода сможет посчитать, сколько нужно нанять рабочих, чтобы выпуск продукции был максимальным. Вы скажете: что тут думать — чем больше наймешь, тем больше работы они смогут выполнить. Но так, к сожалению, все не работает. Если запихнуть в ограниченное пространство завода тысячи человек, они просто будут мешать друг другу, и производство продукции может прекратиться. Поэтому важно найти баланс: с одной стороны рабочих должно быть столько, чтобы задействовать все ресурсы завода максимально, но при этом, чтобы они не мешали друг другу. Запустить эффективное производство вам поможет знание производной.

Или, например, пробки на дорогах: вы наверное знаете, что светофоры стараются настроить таким образом, чтобы угодить и автомобилистам, и пешеходам. Если поставить зеленый сигнал на светофорах для водителей слишком длинным, то пробки уменьшатся, но пешеходы будут очень недовольны. А если слишком короткий, то вся улица застрянет в пробках.

В экономике: как фирме понять, какую цену выставить на свою продукцию? Если слишком высокую, никто не будет покупать. Если низкая, то все быстро раскупят, а фирма ничего не заработает. Идеальная цена та, по которой фирма сможет продать всю свою продукцию по наибольшей цене. Но как заранее узнать эту цену, если фирма только-только открылась?

Оптимизировать эти и множество других задач в окружающем мире помогает именно производная.

Что такое производная?

В школьном учебнике вы встретите определение производной:

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, и предел существует.

Звучит страшно. Давайте разбираться, что же такое производная, а то тут ничего непонятно.

Для этого нам понадобится какая-нибудь случайная непрерывная функция \(f(x)\) и ее график (см. Рис 1.). При помощи графика этой функции мы постараемся разобраться, что же такое производная от функции.

Определение производной

Рис.1. График произвольной функции

Отметим две точки на графике: \(A\) и \(B\). У точки \(A\) будут координаты по оси абсцисс (ось \(x\)): \(x_A\), по оси ординат (ось \(y\)): \(f(x_A)\), а у точки \(B\): \(x_B\) и \(f(x_B)\). Введем новое обозначение: \(\Delta.\)

Знак треугольника называется «дельта», и он обозначает изменение некоторой величины. Изменение координаты \(x\) при переходе от точки \(A\) к точке \(B\) будет: $$\Delta x=x_B-x_A;$$ А изменение координаты \(y\) по оси ординат (значения функции \(f(x)\)): $$\Delta f(x)=f(x_B)-f(x_A);$$

Описать, насколько быстро растет функция (или, другими словами, как круто идет ее график) на участке между точками \(A\) и \(B\), можно при помощи выражения: $$K=\frac=\frac;$$ Величина \(K\) нам показывает скорость изменения функции: чем больше успевает измениться величина \(f(x)\) за участок между точками \(A\) и \(B\), тем больше скорость изменения нашей функции на этом участке (тем круче идет ее график).

Отметим еще две точки \(C\) и \(D\) на графике (см. Рис. 1) так, чтобы расстояние между этими точками по оси \(x\) было таким же, как и между точками \(A\) и \(B\), то есть: $$x_B-x_A=x_D-x_C;$$ Или используя новые обозначения: $$\Delta x_ =\Delta x_;$$ Обратите внимание, что изменение значения функции \(f(x)\) на отрезке \(AB\) значительно больше изменения значения функции на отрезке \(CD\): $$f(x_B)-f(x_A) > f(x_D)-f(x_C);$$ $$\Delta f(x)_>\Delta f(x)_;$$ Получается, что на одинаковых промежутках \(\Delta x\) скорость роста графика функции на \(AB\) больше, чем на \(CD\). Можно записать: $$\frac > \frac;$$ $$K_ > K_;$$

Этот факт виден и невооруженным взглядом по графику. График на \(AB\) круче, чем на \(CD\).

Если на графике (Рис.2) взять точки \(M\) и \(N\), то значение функции в точке \(M\) будет больше значения функции в точке \(N\), так как функция на промежутке \(MN\) убывает: $$f(x_M) > f(x_N);$$

Производная убывающей функции

Рис.2. График произвольной функции

Приращение аргумента функции должно стремиться к нулю

А значит, скорость изменения функции на промежутке \(MN\) будет отрицательной: $$K_=\frac<\Delta f(x)_><\Delta x_>=\frac

Тогда скорость изменения функции на этом промежутке будет равна нулю: $$K_=\frac<\Delta f(x)_><\Delta x_>=\frac=\frac=0;$$ Но это не так. График между точками \(A\) и \(C\) меняется. Просто так получилось, что конечное и начальное значения оказались равны, а между ними функция растет и снижается.

Проблема подсчета скорости изменения функции \(K\) по нашей формуле на отрезке \(AC\) в том, что мы взяли слишком большой промежуток \(\Delta x_\). Оказывается, чем меньше промежуток \(\Delta x\) между двумя точками, тем точнее можно посчитать скорость изменения функции.

Для идеальных расчетов скорости изменения функции \(K\) нужно брать \(\Delta x\) очень-очень маленьким: точки должны быть очень близки друг к другу. Математики, чтобы все было точно, говорят, что \(\Delta x\) должно стремиться к нулю: $$\Delta x \to 0;$$ Это означает, что \(\Delta x\) бесконечно мало, но не равно нулю. Просто оно очень маленькое. Такую маленькую разность координат \(x\) двух точек называют приращением аргумента функции. Поэтому в определении производной в учебнике есть это странное слово.

Так как \(\Delta x\) между бесконечно близкими точками очень мало, то и изменение значения функции тоже будет очень маленьким: $$\Delta f(x) \to 0;$$ Величину \(\Delta f(x)\) называют приращением функции.

Вот мы и подобрались к определению производной:

Производной функции называют скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\). Обозначают производную функции при помощи штриха над функцией: \(f^(x)\). $$f^(x)=\frac=\frac \quad при \quad \Delta x \to 0;$$

Исходя из приведенных выше выводов про скорость изменения графика функции, можно сделать вывод, что производная функции положительна, когда функция возрастает (ее график идет вверх), и отрицательна, когда функция убывает (график идет вниз). Это очень важный вывод, который нам пригодится при решении большого числа задач на производные.

У внимательного читателя также должен возникнуть вопрос, а может ли производная равняться нулю? Да, может. Производная, согласно определению, это скорость изменения функции. Если скорость на промежутке \(\Delta x\) равна нулю, то это означает, что функция не растет и не падает, а значит функция не должна изменяться. То есть значения функции будут одинаковы на бесконечно малом промежутке.

Места на графике, где производная равна нулю, можно увидеть в «вершинах» и «впадинах» графика (см. Рис. 4) в красных точках. Если взять точку \(A\) слева от вершины, но очень близкую к ней, и точку \(B\) справа от вершины, также бесконечно близкую к вершине, то значения в этих точках будут одинаковы, а значит производная на этом промежутке будет равна нулю: $$f^=\frac=\frac=\frac=0 \quad при \quad x \to 0;$$ На (Рис.4) я попытался изобразить две близкие к вершине точки \(A\) и \(B\) слева и справа от вершины.

Что такое производная?
Определение и смысл производной функции

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных.

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции, и, в особенности, бесконечно малые величины. Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной, где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики», пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Возрастание, убывание, максимум и минимум функции

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции, а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Измерение скорости изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента, и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание: числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным: метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым.

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию, которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По аналогии с непрерывностью, «раскрутка» производной начинается с её изучения в отдельно взятой точке:

Производная функции в точке

Производная функции в точке. Геометрический смысл производной

Рассмотрим функцию (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение :

Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке . Обратите внимание, что – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции .

Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции:
(малиновый отрезок)

В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.

Давайте сразу возьмём на заметку, что нарисовалось в результате проделанных действий. Ну, конечно же, в глаза бросается секущая (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник .

Угол наклона секущей к оси я обозначил через и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол . Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при . Или коротко:

Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке . А то, что в львиной доле случаев предел существует и конечен, скептики убедятся в самом ближайшем будущем.

И, конечно же, не забываем о важнейшей особенности предела, как такового: ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ МОМЕНТ состоит в том, что приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно малА, но не равна нулю!

Геометрический смысл производной

Пожалуйста, возьмите в руки обычную линейку и совместите её ребро с прямой .

Да-да – приложите прямо к экрану монитора, не комплексуйте =) Вместо линейки можно использовать тетрадку, лист бумаги или даже руку.

Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке , уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции тоже уменьшается: точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали (красному отрезку), и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции (синей линии).

В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке . Искомая касательная изображена зелёным цветом.

Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции:
Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.

Вот что матан животворящий делает =)

Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.

В свете рассматриваемых событий (бесконечного уменьшения и нахождения предела ) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов: . В итоге:

Вывод: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: .

А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:

В курсе аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде .

Данной формулой мы уже активно пользовались, когда находили уравнение касательной, и сейчас стало ясно, откуда она взялась.

Существование производной в точке и непрерывность функции

По определению: , следовательно, существование производной в точке тесно связано с существованием предела в данной точке.

Я изо всех сил пытался отсрочить этот момент, чтобы не путать посетителей сайта, но рассказать всё равно придётся…. В определении производной ВАЖНЕЙШИМ является тот факт, что приращение аргумента задаётся и в другую сторону. Возьмите карандаш и листок бумаги (не ленимся – так будет в 10 раз понятнее. ). Изобразите координатные оси, примерно такой же график функции и точки .

Отложите на чертеже небольшой отрезок слева от точки . При этом точка расположится левее точки , а точка – ниже точки . Теперь проведите секущую графика функции и начните мысленно уменьшать приращение вправо к точке . В результате данная секущая будет стремиться занять положение той же самой «зелёной» касательной!

Примечание: приращение с левой стороны осуществляется «против оси абсцисс» и поэтому отрицательно: . Заметьте, что всё остаётся корректным, так, в нашем случае соответствующее приращение тоже меньше нуля, и по этой причине левосторонний предел таки будет положительным , корректно показывая (как и его правосторонний коллега) рост функции в точке . Односторонние пределы конечны и совпадают, что говорит о существовании общего предела, производной и единой касательной.

Таким образом, существование производной в точке геометрически очень удобно ассоциировать с существованием ОБЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ в данной точке.

Очевидно, что функция не дифференцируема в точках разрыва. Во-первых, она может быть не определена в такой точке, следовательно, приращение задать невозможно (на нет и суда нет). А во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела (по причине различных «нехорошестей» с односторонними пределами). Читатели, насмотревшиеся графиков разрывных функций (это намёк 😉 = )), легко представят проблему с общей касательной.

Вывод: из дифференцируемости функции в точке необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.

Однако обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда! Классический пример, функция в точке (чертёж есть в Примере 24 урока о геометрических преобразованиях графика). Если рассмотреть приращение справа, то правосторонний предел будет равен , и, соответственно, получаем касательную , совпадающую с правой частью графика . Если же придать приращение аргументу влево, получается совсем другой результат: и другая касательная , которая совпадает с левой частью графика . Печалька. Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция хоть и непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней! Подробное аналитическое доказательство проводится по шаблону Примера 11 статьи Производная по определению. Ещё один типичный образец есть в Примере 6 урока Непрерывность функции, где кусочно-заданная функция непрерывна на . Однако не всё так безоблачно – она не дифференцируема в точках «стыка» графика.

В заключение параграфа немного об особых случаях.

Когда предел равен «плюс» или «минус бесконечности», то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельная оси . Например, касательной к графику функции (см. чертёж Примера 6 урока Методы решения определённых интегралов) в точке является сама ось ординат. Более того, если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная всё равно существуют! Пожалуйста: квадратный корень из модуля «икс» в той же точке .

За более детальной и подробной информацией по сабжу можно обратиться, например, к первому тому Фихтенгольца. НедУрно издание 1962 года, закачивается без проблем.

Раз пошла такая пьянка.

Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл

Дифференциалом функции в точке называют главную линейную часть приращения функции (строго говоря, его следовало обозначить или ). На чертеже дифференциал в точке равен длине отрезка .

Дифференциал функции в точке. Геометрический смысл дифференциала

Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую . Двигая линейку влево к точке , уменьшаем приращение . Впрочем, и сам выполню несколько засечек:

По рисунку хорошо видно, что с уменьшением уменьшается и приращение функции (малиновые линии). При этом отрезок занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции , а наш дифференциал – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом дифференциал стремится к полному приращению функции: (соответственно отрезок будет бесконечно малым).

Нетрудно вывести формулу для приближенных вычислений с помощью дифференциала. Рассмотрим прямоугольный треугольник и тангенс угла наклона касательной . Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке корректнее через , и учитывая, что , получаем:

То есть идея формулы приближенных вычислений состоит в том, чтобы точное значение функции (смотрим на ось ординат основного чертёжа) заменить суммой и отрезка . К слову, отрезок на главном чертеже существенно «не достаёт» до полного приращения , и это не случайность. В демонстрационной иллюстрации я выбрал большое значении , чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение меньше – тем дифференциал лучше «дотянется» до полного приращения функции (см. маленький рисунок), и тем точнее сработает формула .

Провернём ещё один неожиданный фокус с полученным равенством . Предельно малое значение часто обозначают через , поэтому формула принимает вид . Скинем в знаменатель противоположной части:

Понятие производной функции

До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной» точке . Но ведь в качестве можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ рассматриваемого интервала!
Из этих соображений в равенстве проведём замену и получим . А это не что иное, как обозначение производной , о котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования. Символ используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе решения дифференциальных уравнений.

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной).

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной:
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных? Невероятно, но все они появились благодаря единственной формуле: . И как это происходит, мы начнём разбирать прямо сейчас.

Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй, первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте – вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть зашифрованное послание для вашего преподавателя =)

Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю.

Производная функции-константы равна нулю

Функция-константа имеет вид , и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему .
Изобразим, например, график функции :

Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.

Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю. Рассмотрим произвольное значение , в котором, понятно, . Придадим аргументу приращение: . Функция всё время постоянна, поэтому и приращение функции: . По определению производной в точке:

Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число , равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом.

Поскольку в качестве точки можно взять любое «икс», то проведём замену и получим: .

Найти производную функции по определению.

Рассмотрим произвольное значение , в котором .

Зададим аргументу приращение и вычислим соответствующее значение функции: (обычная алгебра – в функцию вместо «икса» подставили и раскрыли скобки).

Вычислим приращение функции:

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве можно взять любое значение , то .

Производная линейной функции равна константе

О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она отрицательна, а значит, функция убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение будет неизменным:

Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную «быстрым» способом:

Теперь вам должно быть понятно происхождение и весь неформальный смысл полученного результата.

Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции равна её угловому коэффициенту:
.

В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение данных фактов с точки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим две линейные функции и найдём их производные:

Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут «снизу вверх»). Кроме того, не забываем, что производная – это мера скорости изменения функции. Поскольку , то функция растёт быстрее (причём, значительно) функции , и, соответственно, график намного более крут.

Факт тривиален, но озвучу: касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.

Заключительная демонстрационная задача, думаю, развеет все оставшиеся непонятки:

Найти производную функции по определению.

Рассмотрим произвольную точку и соответствующее значение . Зададим приращение и вычислим значение функции в точке :

Найдём приращение функции:

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве можно рассмотреть любую точку области определения функции , то проведём замену и получим .

Проверим результат «лёгким» способом:

Производная показывает убывание и возрастание функции на интервалах

Исходная функция и её производная – это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь:

На интервале производная отрицательна: (красная линия), что говорит об убывании функции на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт сверху вниз. А на интервале производная положительна: (зелёная линия), значит, функция растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.

При производная равна нулю: . Найденное значение показывает, что скорость изменения функции в точке равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.

Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции !

И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной:

Таким образом, в точке функция убывает, в точке сохраняет скорость постоянной, а в точках – растёт. Причём , поэтому можно сказать (опять даже не зная чертежа!), что в окрестности точки график функции идёт вверх круче, чем вблизи точки .

Производная характеризует скорость изменения функции

Закрепим геометрический смысл: производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не поленюсь, применю формулу четыре раза:

Вот так вот изящно производная характеризует свою функцию.

Наше увлекательное путешествие подошло к концу, и возникает вопрос: в каком направлении двигаться дальше? Это зависит от ваших сегодняшних потребностей:

– Можно потренироваться в нахождении производной по определению. И смех, и грех, но для применения формулы опять же совсем не обязательно понимать, что это производная =)

– Можно отработать и окончательно уяснить геометрический смысл производной на уроке Уравнения касательной и нормали.

– И, наконец, можно перейти в следующий раздел – к статье об экстремумах функции, из-за которой на сайте, собственно, и появилась теория.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

производная объяснение для чайников

Иначе это можно записать так:

высшая математика для чайников производные

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Мы поможем сдать на отлично и без пересдач

  • Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа от 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Как найти производную?
Примеры решений

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Найти производную функции

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где – постоянное число;

производную степенной функции:
, в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где – постоянное число (константа)

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

2) Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Это необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это — константы. Поэтому выносится за знак производной, а .

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *