Как найти синус зная косинус формула
Перейти к содержимому

Как найти синус зная косинус формула

  • автор:

Основное тригонометрическое тождество

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Выражение синуса и косинуса через основное тригонометрическое тождество

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Выражение тангенса и котангенса через основное тригонометрическое тождество

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны (для получения тангенса) (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Значение косинуса и угла в радианах

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол то в градусной мере это записывается так:

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому

Значение синуса и угла в радианах

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, принадлежит промежутку Переведем углы из радианной меры в градусную — получим:

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому

Значение еще одного косинуса и угла в радианах

Задача. Найдите tg α , если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Выражение тангенса через косинус

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем Известно, Переведем углы из радианной меры в градусную — получим

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому

Значение еще одного синуса и угла в радианах

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Знак определяем по углу. Имеем: Переведем углы из градусной меры в радианную: это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно,

Значение еще одного котангенса и угла в радианах

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Выражение синуса через тангенс

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол В градусной мере это записывается так: I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому

Смотрите также:

  1. Как формулы приведения работают в задаче B11
  2. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
  3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Задачи про температуру и энергию звезд
  6. Задача B4 про шерсть и свитер
  • Вход для учеников
  • ЕГЭ-2024
  • Часть 1
  • 1. Уравнения
  • 2. Вероятность
  • 3. Планиметрия
  • 4. Тригонометрия
  • 5. Стереометрия
  • 6. Производные
  • 7. Формулы
  • 8. Текстовые задачи
  • 11. Экстремумы функций
  • Часть 2
  • 12. Тригонометрические уравнения
  • 13. Сложная стереометрия
  • 14. Сложные неравенства
  • 15. Экономические задачи
  • 16. Сложная планиметрия
  • 17. Задачи с параметром
  • 18. Теория чисел
  • Архив
  • X1. Движение и время
  • X2. Графики
  • X3. Площади
  • X4. Стереометрия
  • X5. Экономика
  • Об экзамене
  • Советы
  • 2014
  • 2015
  • 2016
  • 2017
  • 2018
  • 2019
  • Школьникам
  • Студентам
  • Реклама
  • Обо мне
  • © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
    ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
  • При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
    Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
  • Карта сайта

Синус, косинус острого угла треугольника

Прямоугольный треугольник

gift

Если у нас есть треугольник \(ABC\) , рисунок выше, для которого \(С\) — прямой угол, то сторонами \(BC\) и \(AC\) будут катеты, а сторона \(AB\) — гипотенуза. Следовательно, по определению, синус угла \(ABC\) равен отношению катета \(АС\) к гипотенузе: синус угла \(ABC=\frac\) и синус угла \(BAC=\frac\) .

косинус угла \(ABC=\frac\) и косинус угла \(BAC=\frac\) .

Чаще всего известно лишь часть данных, например катет и угол, нужно выразить неизвестную величину. Подумайте, как это сделать.

Пример 1. Вычислим синус по двум катетам.

Берем тот же треугольник \(ACB\) с прямым углом \(С\) в котором мы знаем катеты: \(BC = 3\) , \(AC = 4\) . Для вычисления синуса угла с необходимо разделить катет на гипотенузу: \(sin ∠BAC = \frac < AB>\) .

Гипотенузу вычислим из теоремы Пифагора: \(AC^2+BC^2=AB^2\) \(9+16=25\) \(AB=5\) откуда синус равен:
\(sin ∠ BAC = \frac<3>\)

Пример 2. Вычислим синус угла \(ABC\) по углу \( BAC \) 30° градусов в прямоугольном треугольнике \(ACB\) .

Самое главное помнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 °. Найдем угол \(ABC\) :
\(180\) ° \(-30\) ° \(-90\) ° \(=60\) °.
\(sin\) \(60\) ° возьмем из табличного значения: \(\frac< \sqrt<3>> < 2>\)
Табличные значения \(sin\) и \(cos\) :

Табличные значения синуса и косинуса

Чтобы лучше понимать значения табличные значения синуса и косинуса представим их на координатной окружности: где ось ординат \((y)\) линия синуса, ось абсцисс \((x)\) – линия косинуса. Если вы забыли значения синуса и косинуса \(90\) и \(180\) можно нарисовать рисунок и посмотреть значения, не забывая, что на первом месте стоит \(x\) , на втором \(y\) \((x,y)\) ;

координатная окружность

Теорема синусов:

Теорема синусов

Теорема косинусов:

Теорема косинусов

Часто задаваемые вопросы:

↪ Для угла в 0 градусов синус равен 0, а косинус равен 1.

↪ Да, синус и косинус могут быть определены для любого угла, используя единичный круг. Значения этих функций для углов, превышающих 90 градусов, будут зависеть от четверти, в которой находится угол.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

gift

Репетиторы
  • rhombusРепетитор по математике
  • rhombusРепетитор по физике
  • rhombusРепетитор по химии
  • rhombusРепетитор по русскому языку
  • rhombusРепетитор по английскому языку
  • rhombusРепетитор по обществознанию
  • rhombusРепетитор по истории России
  • rhombusРепетитор по биологии
  • rhombusРепетитор по географии
  • rhombusРепетитор по информатике
Специализация
  • rhombusРепетитор по грамматике русского языка
  • rhombusРепетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
  • rhombusПодготовка к олимпиадам по английскому языку
  • rhombusРепетитор по разговорному английскому
  • rhombusВПР по математике
  • rhombusРепетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
  • rhombusРепетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
  • rhombusРепетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
  • rhombusРепетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
  • rhombusПрограммирование Pascal
Предметы по класам
  • rhombus1 класс
  • rhombus2 класс
  • rhombus3 класс
  • rhombus4 класс
  • rhombus5 класс
  • rhombus6 класс
  • rhombus7 класс
  • rhombus8 класс
  • rhombus9 класс
  • rhombus10 класс
  • rhombus11 класс
  • rhombusНе школьник

зная cos как найти sin

Источник: вы нубы 8ой класс не знаете ((( через основное тригонометрическое тождество выражаем синус.

Остальные ответы

Зная косинус угла находим угол через функцию, обратную косинусу — это арккосинус, зная угол находим синус.. . Так надежнее, чем через sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Источник: acos(x)
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
неправильно. cos^2+sin^2 = 1
sin=(1-cos)^(1/2)

по основному тригонометрическому тождеству. соs в квадрате + sin в квадрате=1 отсюда выводишь что соs= под корнем выражение: 1-sin в квадрате

основное тригонометрическое тождество sin2+cos2=1; sin=квадратный корень (1-cos2)
sin x = tg x / cos x

Источник: борис строганов
im on a sugar crash
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как найти синус зная косинус формула

Основные условия публикации

— Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.

— Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.

— Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.

— Видеоматериалы должны иметь описание.

— Названия должны отражать суть исследования.

— Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.

Не принимаются к публикации

Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.

— Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.

— Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.

Наказывается баном

— Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.

— Попытки использовать сообщество для рекламы.

— Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.

— Нарушение правил сайта в целом.

Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество Пикабу.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *