Как построить окружность по 3 точкам
Перейти к содержимому

Как построить окружность по 3 точкам

  • автор:

Как построить окружность по 3 точкам

Paul Bourke

Перевод Кантора И.А.

Пусть даны три точки P1, P2,P3 плоскости.

Проведем через пары точек две прямые. Первая линия пусть проходит через P1 и P2, а прямая b — через P2 и P3.
Уравнения этих прямых будут

где m — коэффициент наклона линии, получаемый из

Центр круга — находится на пересечении двух перпендикулярных прямых, проходящих через середины отрезков P1P2 и P2 P3. Легко доказать, что прямая, перпендикулярная к линии с коэффициентом наклона m имеет коэффициент наклона -1/m, значит уравнения прямых, перпендикулярных a и b и проходящих через середины P1P2 и P2P3 будут

Они пересекаются в центре, и решение относительно x дает

Значение у вычислим подстановкой x в уравнение одного из перпендикуляров. Можно и наоборот: сначала решить относительно y, а потом найти x.

Радиус найти элементарно. Например, точка P1 лежит на окружности. и мы знаем центр..

Уравнение окружности по трем точкам

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2

  • h,k — координаты центра Окружности
  • x,y — координаты точки окружности
  • r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Шаг:1

Подставляем координаты точек в формулу

  1. (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
  2. (2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
  3. (5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2
Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

  • (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
  • 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
  • 8 — 4k = 20 — 8k
  • k= 3
Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

  • (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
  • 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
  • 8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
  • 6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

  • r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
  • r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
  • r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
  • r 2 = 5
  • r = 2.24
Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h) 2 + (y — k) 2

Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2

Ответ :

  • Координаты точки центра окружности c(h,k) = c(4,3)
  • Радиус окружности r = 2.24
  • Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2 = (2.24) 2

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки
Первая точка
Вторая точка
Третья точка

Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать

Центр

Стандартное уравнение окружности
Общее уравнение окружности
Параметрическое уравнение окружности
Ссылка Сохранить Виджет

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Как построить окружность по 3 точкам

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (см. рис.).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведемпрямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (рис.), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК ⊥ АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *