Какой алгоритм должен быть выбран при решении квадратного уравнения
Перейти к содержимому

Какой алгоритм должен быть выбран при решении квадратного уравнения

  • автор:

Ветвящийся алгоритм решения квадратного уравнения

где a=2; b=-5; c=2. Решение. Представим алгоритм решения квадратного уравнения в словесной форме.
1. Вычислить дискриминант квадратного уравнения:

2. Если D 3. Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня (то есть один).
4. Если D>0, то уравнение имеет два корня:

Таким образом, для решения квадратного уравнения необходимо использовать разветвляющийся алгоритм.
Для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления можно использовать пользовательскую форму, например, как показано на рис. 1.

Рисунок 1

blok-shema_kv_uravn

Рисунок 2

Программа вычисления корней квадратного уравнения запускается нажатием на кнопку «Решить».
Эта программа имеет следующий вид:

Private Sub CommandButton1_Click()
a = TextBox1
b = TextBox2
c = TextBox3
d = (b ^ 2) — (4 * a * c) ‘ дискриминант
If d < 0 Then
TextBox4 = «Нет решения» ‘X1
TextBox5 = «Нет решения» ‘X2
Else TextBox4 = (-b + Sqr(d)) / (2 * a) ‘ Первый корень (Х1)
TextBox5 = (-b — Sqr(d)) / (2 * a) ‘ Второй корень (Х2)
End If
End Sub

О квадратных уравнениях в правильном порядке

Как вам преподавали квадратные уравнения в школе? Это был 7-8 класс, примерно. Вероятнее всего, вам рассказали что есть формулы корней через дискриминант, что направление ветвей зависит от старшего коэффициента. Через пару занятий дали теорему Виета. Счастливчикам еще рассказали про метод переброски. И на этом решили отпустить.

Вы довольны такой базой? Вам не рассказали ни геометрический смысл, ни как это получить.

Спустя некоторое время обдумывания сей несправедливости, я решил написать эту статью и тем самым закрыть гештальт о фрагментарности знаний.

Вы не найдете здесь ничего нового по факту, но, возможно, это даст посмотреть на такое простое понятие с другой стороны.

Начнем с конца

Когда я перечислял темы, касающиеся квадратных уравнений, я делал это примерно в том же порядке, в котором изучают их в школе. Но такой порядок не оправдан с точки зрения обучения, и вот почему:

  • Дискриминант дается просто как данность (за редким исключением, когда показывают вывод этих формул через приведение к полному квадрату)
  • Мощнейшая по своей сути теорема Виета дается в конце и только как эвристический способ решения

Гораздо проще начать с теоремы Виета.

Рассмотрим квадратный трехчлен

В силу основной теоремы алгебры (примем её как данность, так как её действительно тяжело доказать), мы знаем, что у этого уравнения должно быть два корня. Допустим, что это некоторые числа . Тогда можно переписать изначальное уравнение как выражение его корней:

Оба эти уравнения эквиваленты, так как они оба зануляются в (первое по определению , второе по построению).

Раскрывая скобки, мы получим следующее:

Откуда приравняв соответствующие коэффициенты с имеющимися, получим знаменитую систему:

Мы только что доказали теорему Виета на случай квадратного трехчлена. Это потрясающий результат: мы начинаем получать некоторую информацию о корнях, которые, как мы предположили, существуют. И этот результат мы будем использовать далее.

Геометрия параболы

Вершина

Здесь можно было бы рассказать весь первый курс алгебры университета: о фокусах, директрисах, о конических сечениях, первой и второй производной…

Но раз мы ограничились школьной программой (7-8 класс, если быть точным), то и рассуждения у нас будут простые.

Самая, на мой субъективный взгляд, интересная точка параболы – это её вершина. Она уникальным образом задает положение параболе и дает понимание о том, как устроены корни.

Но формулу для нее мы не знаем, до первых понятий о производной нам еще 3 года в среднем. Будем выкручиваться.

Парабола – симметричная фигура. До того момента, как мы сдвинули ее относительно оси , ось служит для нее осью симметрии. Когда же мы начинаем ее сдвигать, становится видно, что она продолжает быть симметричной, но уже относительно оси, проходящей через вершину.

Парабола, вершина и ось симметрии

Тогда от вершины в обе стороны до корней равные расстояния, а это значит, что вершина параболы лежит ровно между корнями. Тогда координата вершины это среднее между ее корнями

Пока что мы не знаем наши корни. Но благодаря теореме Виета мы знаем, чему равна сумма корней!

Потрясающий результат, который нам пригодится далее.

Ещё немного про корни

Мы знаем, что корни, графически, это те точки, в которых кривая пересекает ось . Очень полезное знание, учитывая, что смотря на параболу, исключительно визуально, мы понимаем что у нас может быть 3 случая:

  1. Корней нет, при этом
    1. Либо значение в вершине больше нуля и старший коэффициент больше нуля
    2. Либо значение в вершине меньше нуля и старший коэффициент меньше нуля

    Второй случай тривиален, до третьего мы еще дойдем. Интересно математически взглянуть на первый. Найдем значение квадратного трехчлена в вершине:

    И теперь все же рассмотрим первый случай: парабола висит над осью ветвями вверх.

    Первый случай

    Домножим первое неравенство на . Учитывая, что , знак неравенства сменится на противоположный:

    Это условие, при котором корней нет.

    Рассмотрим вкратце противоположный случай: парабола висит под осью ветвями вниз.

    Второй случай

    Какая-то магия. Получается, что это условие инвариантно относительно положения параболы. Но тем оно лучше.

    На данном этапе прошу заметить, что это только условие отсутствия действительных корней. Да, это похоже на дискриминант, но давайте представим, что вы этого не знаете.

    Понятие дискриминанта

    Мы уже многое поняли о корнях: в какой они связи с коэффициентами, когда они не существуют, каким образом они лежат относительно вершины. Все это безумно полезно, но это все до сих пор не способ найти значения алгебраически.

    Давайте будем отталкиваться от того, что мы уже знаем: от вершины. Если бы мы каким-то образом знали расстояние между корнями, то могли бы однозначно найти и сами корни.

    Таки что мешает нам это сделать? Но как настоящие математики, давайте находить квадрат расстояния между корнями. Не теряя общности, будем считать, что – больший корень. Тогда

    Пока что выглядит не очень, но на что-то это очень сильно похоже. Не видите? Давайте выделим полный квадрат, но по сумме, а не по разности: добавим , но чтобы все осталось в точности так же, это же и вычтем.

    Все еще не видите? Воспользуемся снова теоремой Виета:

    Мы получили квадрат расстояния между корнями с учетом растяжения коэффициентом .

    Так мы теперь можем найти корни! Вершина параболы да половину расстояния между корнями в обе стороны:

    Или, немного преобразовав

    Квадрат расстояния между корнями квадратного трехчлена и есть дискриминант.

    В общем случае, дискриминант — более сложное понятие, связанное с кратными корнями. Но для квадратного уравнения в 7 классе этого достаточно.

    Теперь, если рассуждать о дискриминанте как о расстоянии, становится логично и понятно, почему если он равен нулю, то корень всего один; а если отрицательный, то действительных корней вообще нет.

    Заключение

    Заметьте, что единственное, что мы предположили, что корня два и они существуют. Единственное, что приняли на веру, это основную теорему алгебры. До всего остального мы дошли исключительно умозрительными заключениями и простейшей алгеброй.

    Как по мне, это именно то, как должны преподавать эту тему в школе.

    Какой тип алгоритма должен быть выбран при решении квадратного уравнения?

    Naumenko Высший разум (856844) мб вместо этой псевдо-научной галиматьи формулы выучить накрепко:

    Разветвляющийся алгоритм (ветвление)
    Коля ОвчинниковЗнаток (455) 8 лет назад

    Найти дискриминант.
    2) Выделить корень из дискриминанта.
    3) найти х1
    4 найти х2.

    Можно решить по теореме Виета

    Коля ОвчинниковЗнаток (455) 8 лет назад
    Спасибо) но мне нужно выбрать из этого
    Линейный
    циклический
    разветвляющийся
    циклически-разветвляющийся

    Семен Аркадьевич Высший разум (340084) Если учесть, что полсле определения дискриминанта есть три варианта движения, то, значит, разветвляющийся.

    NaumenkoВысший разум (856844) 8 лет назад

    тебе. Коля, это точно не нужно- тебе задано из пособия. которое дает неплохой доход самопальным его составителям и книгоиздателям..
    где учишься? по каким- под чьей редакцией- учебникам?
    не скрывай- а страна будет знать «Антигероев»просвещения.

    Квадратные уравнения: алгоритмы решения

    Квадратные уравнения — это уравнения вида aх 2 +bx+c=0, где коэффициенты a, b,c — это некоторые числа, причём a ≠ 0.

    Решить квадратное уравнение — это значит найти все его корни или, напротив, установить, что корней нет.

    Есть два самых распространённых способа решения таких уравнений: первый — с помощью формулы корней, второй — с помощью теоремы Виета. В статье мы рассмотрим оба варианта, чтобы вы могли выбрать более удобный для вас.

    Основные понятия квадратных уравнений

    Чтобы при изучении темы не возникало сложностей с пониманием определений, давайте рассмотрим основные понятия квадратных уравнений.

    1. Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент а=1.
    2. Неприведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент а≠1.
    3. Полное квадратное уравнение — это уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.
    4. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один коэффициент равен нулю.

    Читайте по теме: Одночлены и многочлены

    Решение квадратных уравнений с помощью формулы корней

    квадратные уравнения квадратные уравнения

    Также для удобства решения существуют свойства коэффициентов квадратного уравнения, а именно:

    1. если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0 (a + b + c = 0), то:

    2. если сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b (а + с = b), то:

    квадратные уравнения

    Способы решения неполных квадратных уравнений

    квадратные уравнения

    Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

    На практике теорема Виета чаще всего применяется для решения приведённых квадратных уравнений.

    Важное условие для применения теоремы Виета — это уравнение должно иметь корни, то есть — D≥0.

    Для приведённого квадратного уравнения х 2 +px+q=0, согласно теореме Виета, верно следующее:

    Рассмотрим алгоритм решения приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета:

    квадратные уравнения

    Итак, теперь вы знаете, как решать квадратные уравнения двумя способами: с помощью формулы корней и теоремы Виета. Потренируйтесь самостоятельно, чтобы закрепить информацию. Или приходите на занятия в нашу онлайн-школу! Разберём любые темы, которые вызывают у вас сложности ��

    Читайте по теме: Уравнения: как научиться быстро решать
    Как вам статья?

    Реакция

    17

    Реакция

    31

    Реакция

    30

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *