Как понять существует ли обратный оператор
Перейти к содержимому

Как понять существует ли обратный оператор

  • автор:

Как доказать существование обратного оператора?

Пусть A, B:E→E, D(A) = D(B) = E. AB + A + I = 0, BA + A + I = 0. Доказать, что существует обратный оператор A^−1.

Чтобы доказать это, нужно показать, что образ A совпадает с E, и что ядро A нулевое.

Показать, что ядро нулевое, можно так:
Пусть Ax = 0, тогда подставляем этот x во второе уравнение, тогда получим BAx + Ax+ x = 0, то есть x = 0.

А вот с доказательством того, что образ совпадает с E, я не очень понял как.
То есть у нас должно быть такое условие: ∀ y ∈ E, ∃ x ∈ E, Ax = y, тогда они будут совпадать.

Но тут я немного туплю. Если это по аналогии подставить, как выше, там мало чего разумного можно получить.

  • Вопрос задан более трёх лет назад
  • 81 просмотр

Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор

Оператор A : X → Y называется линейным, если:

Матрица линейного оператора. [ править ]

A : X → Y , d i m ( X ) = m , d i m ( Y ) = n .

Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:

A ( e → i ) = h → i ∈ Y , i = 1 … m . >_)=>_\in Y,i=1\dots m.>

∀ x → ∈ X : x → = ∑ j = 1 m x j e → j ⇒ A ( x → ) = A ( ∑ j = 1 m x j e → j ) = ∑ j = 1 m x j A ( e → j ) = ∑ j = 1 m x j h → j . >\in X:>=\sum \limits _^x_>_\Rightarrow A(>)=A(\sum \limits _^x_>_)=\sum \limits _^x_A(>_)=\sum \limits _^x_>_.>

Матрица оператора A e f = | | a i j | | n × m = ( a 11 a 12 … a 1 m … … … … a n 1 a n 2 … a n m ) =||a_||_=\left(a_&a_&\dots &a_\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_&a_&\dots &a_\end>\right)>

Утверждение. Если матрица B = | | b i j | | m × n ||_> осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А.

( b 11 b 12 … b 1 m … … … … b n 1 b n 2 … b n m ) ( 1 0 ⋮ 0 ) = ( b 11 b 21 ⋮ b m 1 ) = ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) ⇒ b_&b_&\dots &b_\\\dots &\dots &\dots &\dots \\b_&b_&\dots &b_\end>\right)\left(<\begin1\\0\\\vdots \\0\end>\right)=\left(<\beginb_\\b_\\\vdots \\b_\end>\right)=\left(<\begina_\\a_\\\vdots \\a_\end>\right)\Rightarrow > первый столбец В совпадает с первым столбцом A e f > , аналогично все остальные тоже совпадают ⇒ B = A e f >

Утверждение. Если оператор C = A + B . \\ ( A : L → M ; B : L → M ; C : L → M ) , то C e f = A e f + B e f =A_+B_> (матрица оператора С равна сумме матриц оператора А и В)

Обратный оператор [ править ]

Если А — изоморфизм, то: y → → x → , ∀ y → ∈ M ∃ ! x → : A x → = y → ⇒ >\rightarrow >,\forall >\in M\exists !>:A>=>\Rightarrow > возникает некоторое отображение A − 1 : A − 1 ( y → ) = x → . :A^(>)=>.>

Покажем, что A − 1 > линейный оператор:

2) A − 1 ( λ y → ) = λ x → = λ A − 1 ( y → ) , ( т.к. A ( λ x → ) = λ A ( x → ) = λ y → ) . (\lambda >)=\lambda >=\lambda A^(>),(>A(\lambda >)=\lambda A(>)=\lambda >).>

Условие обратимости: A : L → M — оператор обратим ⇔ оператор А осуществляет изоморфизм.

Матрица обратного оператора

A : L → M осуществляет изоморфизм (Ограниченный линейный оператор A между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число c такое, что | | A x | | ≥ c | | x | | для всех векторов x ) ( n = m ) тогда ∃ A − 1 : M → L :M\rightarrow L> .

Возьмём e → 1 , … , e → n >_,\dots ,>_> — базис в L, f → 1 , … , f → n >_,\dots ,>_> — базис в M, тогда:

Y = A e f X ⇔ A e f − 1 Y = A e f − 1 A e f X ⇔ A e f − 1 Y = X ⇒ X\Leftrightarrow A_^Y=A_^A_X\Leftrightarrow A_^Y=X\Rightarrow > матрица A e f − 1 <\displaystyle A_^> осуществляет действие оператора A − 1 ⇒ A e f − 1 <\displaystyle A^\Rightarrow A_^> — матрица обратного оператора.

Теорема Банаха об обратном операторе

Пусть [math] X [/math] — B-пространство, оператор [math] C : X \to X, C \in (X) [/math] и [math] \| C \| \lt 1 [/math] . Тогда оператор [math] I — C [/math] , где [math] I [/math] — тождественный оператор, непрерывно обратим.

[math] (X) [/math] — B-пространство.

Рассмотрим следующие суммы: [math] S_n = \sum\limits_^n C^k [/math] .

[math] (I — C)S_n = \sum\limits_^n (C^k — C^) = I — C^ [/math] .

[math] \sum\limits_^ <\infty>C^k [/math] — ряд в B-пространстве [math] (X) [/math] сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд [math]\sum\limits_^\infty A_i[/math] . Рассмотрим последовательность частичных сумм [math]S_n = \sum\limits_^n A_i[/math] , она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда [math]S_n — S_m = \sum\limits_^ A_i[/math] , а [math]\|S_n — S_m\| = \| \sum\limits_^n A_i \| \le \sum\limits_^n \|A_i\|[/math] (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и [math]\sum\limits_^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]<> 0[/math] , то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.

Из того, что [math] \| C^k \| \le \| C \|^k [/math] , получаем [math] \left\| \sum\limits_^ <\infty>C^k \right\| \le \sum\limits_^ <\infty>\| C \|^k = \frac 1 \lt \infty [/math] .

Так как [math] \| C \| \lt 1 [/math] , то существует такой [math] S \in (X) [/math] , что [math] S = \sum\limits_^ <\infty>C^k [/math] .

[math] S_n \xrightarrow[n \to \infty]<> S [/math] . Поскольку [math] \| C \| \lt 1 [/math] , то [math] \| C^k \| \to 0 [/math] , а значит, и [math] C^k \to \mathbb [/math] .

Трактовка этой теоремы: [math] Ix = x [/math] , [math] I [/math] — непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор [math] C [/math] оператор [math] I — C [/math] сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда [math] \| C \| \lt 1 [/math] , то есть «при малых возмущениях [math] I [/math] сохраняется его непрерывная обратимость».

Далее считаем, что пространства [math]X[/math] и [math]Y[/math] — всегда банаховы.

Определение:
Рассмотрим уравнение [math] Ax = y [/math] при заданном [math] y [/math] . Если для такого уравнения можно написать [math] \| x \| \le \alpha \| y \| [/math] , где [math] \alpha [/math] — константа, то говорят, что это уравнение допускает априорную оценку решений.

[math] R(A) = \ < Ax \mid x \in X \>[/math] — область значений оператора [math] A [/math] , является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее:

Если [math] A [/math] непрерывен, и уравнение [math] Ax = y [/math] допускает априорную оценку решений, то [math] R(A) = \mathrm R(A) [/math] .

Возьмем сходящуюся последовательсть [math] y_n \in R(A), y_n \to y [/math] . Нужно проверить, правда ли [math] y \in R(A) [/math] , или, что то же самое, что уравнение [math] Ax = y [/math] имеет решение для такого [math] y [/math] .

[math] y_n \to y \implies \| y_n — y_m \| \to 0 [/math] . Можно выбрать такую подпоследовательность [math] y_n [/math] , что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться [math] \| y_n — y_ \| \lt \frac 1 [/math] .

По линейности [math] R(A) [/math] : [math] y_ — y_n \in R(A) [/math] и для любого [math] n [/math] существует [math] x_n: A x_n = y_ — y_n [/math] .

Поскольку уравнение [math] Ax = y [/math] допускает априорную оценку решений, имеем [math] \| x_n \| \le \alpha \| y_ — y_n \| [/math] .

Рассмотрим следующий ряд: [math] \sum\limits_^ <\infty>x_n [/math] . Сумма ряда из норм: [math] \sum\limits_^ <\infty>\| x_n \| \le \alpha \sum\limits_^ <\infty>\| y_ — y_n \| \le \alpha \sum\limits_^ <\infty>\frac 1 = \alpha [/math] . По банаховости [math] X [/math] получаем, что [math] \sum\limits_^ <\infty>x_n [/math] сходится, и [math] \sum\limits_^ <\infty>x_n = x [/math] .

По непрерывности [math] A [/math] получаем, что [math] Ax = A \sum\limits_^ <\infty>x_n = \sum\limits_^ <\infty>A x_n = \sum\limits_^ <\infty>y_ — y_n = y — y_1 [/math] .

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, и [math]\exists m \gt 0: m \| x \| \le \| Ax \| [/math] . Тогда [math] A [/math] непрерывно обратим на [math]R(A)[/math] .

Теорема Банаха о гомеоморфизме

Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму.

Рассмотрим линейный оператор [math] A : X \to Y [/math] . Обозначим [math] X_n = \ < x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \>[/math] . Тогда хотя бы одно [math] X_n [/math] всюду плотно в [math] X [/math] .

Очевидно, что [math] X = \bigcup\limits_^ <\infty>X_n [/math] , [math] X [/math] — B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по теореме Бэра о категориях, [math] X [/math] — 2 категории, то есть какое-то множество [math]X_[/math] не является нигде не плотным.

Вспомним определение нигде не плотности: [math]A[/math] нигде не плотно, если [math]\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset[/math] . Раз [math]X_[/math] не является нигде не плотным, то [math]\exists V \forall U \subset V: X_ \cap U \ne \emptyset[/math] , то есть [math]X_[/math] всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар [math]\overline V_r(a)[/math] , лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что [math]a \in X_[/math] .

Заметим, что множество [math]X_[/math] также всюду плотно в кольце [math]R = \[/math] . Сдвинем и множество [math]X_[/math] , и кольцо на [math]a[/math] , то есть центр кольца окажется в точке [math]0[/math] . Сдвинутое [math]X_[/math] будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество [math]X_m[/math] , что пересечение сдвинутого [math]R[/math] и сдвинутого [math]X_[/math] лежит в [math]X_m[/math] , то есть [math]X_m[/math] будет всюду плотно в сдвинутом кольце.

Рассмотрим кольцо: [math] \ [/math] . Обозначим [math] y = z — a [/math] , тогда кольцо имеет следующий вид: [math] \ [/math] — кольцо с центром в [math] 0 [/math] .

Будем рассматривать [math] z \in X_ \cap \, y = z — a[/math] . Проверим, что [math]y[/math] войдет в какое-нибудь [math]X_m[/math] :

[math] \| Ay \| = \frac \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| [/math] , так как [math] \| y \| \ge \frac r2 [/math] .

Поскольку [math] z \in X_ [/math] , то [math] \| Az \| \le n_0 \| z \| [/math] . [math] \| z \| \le \| a \| + \| z — a \| \le r + \| a \| [/math] , так как [math] z [/math] принадлежит кольцу.

Подставляем и продолжаем неравенство выше: [math] \| Ay \| \le \frac2r (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \| y \| [/math] .

Обозначим [math] m = \lceil (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \rceil [/math] (это выражение не зависит от [math] y [/math] ), получаем, что [math] \| Ay \| \le m \| y \| \implies y \in X_m [/math] .

Итак, получили, что [math] X_m [/math] всюду плотно в кольце с центром в [math] 0 [/math] . Возьмем теперь любой [math] x \in X [/math] , его можно представить как [math] x = tz, z \in \ [/math] .

По всюду плотности в кольце, найдется последовательность [math]y_p[/math] в [math]X_m \cap \[/math] такая, что [math]y_p \to z [/math] . Но [math] ty_p \to tz = x [/math] . [math] \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m [/math] .

На основе доказанной леммы можем доказать теорему:

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда [math] A^ <-1>[/math] — линейный ограниченный оператор.

Если [math] A [/math] — биекция, то [math] A^ [/math] существует. Осталось показать, что он будет ограничен.

Представим [math]Y[/math] как [math]\bigcup\limits_^ <\infty>Y_n[/math] , [math] Y_n = \< y \in Y \mid \| A^(y) \| \le n \| y \| \>[/math] (заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора).

По только что доказанной лемме, существет такое число [math] n_0 [/math] , что [math]\mathrm Y_ = Y [/math] , обозначим этот [math]Y_[/math] как [math]Y^*[/math] .

Рассмотрим произвольный [math] y \in Y [/math] . Покажем, что существует такое разложение [math] y = \sum\limits_^ <\infty>y_n [/math] , что [math] y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3 \| y \| [/math] .

По всюду плотности, для любого [math] \varepsilon [/math] можно подобрать [math] y_1 \in Y^* : \| y — y_1 \| \lt \varepsilon \| y \| [/math] . Дальше можно подобрать [math] y_2 \in Y^* : \| (y — y_1) — y_2 \| \lt \frac 2 \| y \| [/math] , и так далее, получаем, что [math] \| y — \sum\limits_^n y_k \| \lt \frac > \| y \| [/math] .

Проверим, что для всех [math]y_n[/math] их норма удовлетворяет условию разложения: [math] \| y_n \| \le \| \sum\limits_^n y_k — y + y — \sum\limits_^ y_k \|[/math] [math] \le \| y — \sum\limits_^n y_k \| + \| y — \sum\limits_^ y_k \| \le \frac <2^> \| y \| + \frac > \| y \| = \frac > \| y \| [/math]

В качестве [math] \varepsilon [/math] выберем [math] \frac 14 [/math] , и получим необходимое разложение [math] y [/math] .

Итак, теперь [math] y = \sum\limits_1^ <\infty>y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3 \| y \| [/math] .

Обозначим [math] x_n = A^y_n [/math] . Рассмотрим ряд из [math] x_n [/math] : [math] \sum\limits_^ <\infty>x_n [/math] , проверим сходимость ряда из норм: [math] \sum\limits_^ <\infty>\| x_n \| \lt \infty [/math] .

Вспомним, что [math] y_n \in Y^* = Y_ [/math] .

[math] \| x_n \| = \| A^ y_n \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3 \| y \| [/math] : ряд из [math] \| x_n \| [/math] мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует [math] x = \sum\limits_^ <\infty>x_n [/math] .

Используем непрерывность [math] A [/math] : [math] Ax = \sum\limits_^ <\infty>Ax_n = \sum\limits_^ <\infty>y_n = y [/math] , получили, что [math] Ax = y, A^y = x [/math] .

Рассмотрим норму [math] A^y [/math] : [math] \| A^ y \| = \| x \| = \| \sum\limits_^ <\infty>x_n \| \le \sum\limits_^ <\infty>3n_0 \| y \| \frac 1 = 3n_0 \| y \| [/math] .

Теорема о замкнутом графике

Определение:
Графиком линейного оператора [math] A: X \to Y [/math] называется множество [math] G(A) = \< (x, Ax) \mid x \in X \>, G(A) \subset X \times Y [/math] .

В прямых произведениях множеств сходимость — покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств.

Линейный [math]A : X \to Y [/math] ограничен [math] \iff [/math] [math] G(A) [/math] — замкнут.

Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар [math] (x_n, y_n) \to (x, y) [/math] . Принадлежит ли [math] (x, y)\, G(A) [/math] ?

[math] y_n = Ax_n, x_n \to x \implies Ax_n \to Ax, y_n \to y \implies Ax=y [/math] (по единственности предела). Так как [math] Ax = y [/math] , то [math] (x, Ax) = (x, y) \in G(A) [/math] .

Обратное следствие интереснее.

Можно показать, что [math] X \times Y [/math] банахово с нормой [math] \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| [/math] :

  • То, что [math]\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|[/math] — норма, показывается очевидно
  • Покажем, что если [math](x_n, y_n)[/math] сходится в себе, то она сходится к элементу [math]X \times Y[/math] . Рассмотрим последовательность [math]\|(x_n, y_n) — (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]<> 0[/math] , значит, [math]\|(x_n — x_m, y_n — y_m)\| = \|x_n — x_m\| + \|y_n — y_m\| \to 0[/math] , то есть [math]x_n[/math] и [math]y_n[/math] сходятся в себе, а значит, по полноте пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] , существует [math]x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n[/math] . Значит, [math](x, y) \in X \times Y[/math] . Далее очевидно показывая, что [math]\|(x_n, y_n) — (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]<> 0[/math] , покажем, что [math]x, y[/math] и есть нужный предел.

Рассмотрим следующий оператор: [math] T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x [/math] . [math] T [/math] биективно отображает [math] G(A) [/math] в [math] X [/math] .

[math] \|\| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T [/math] ограничен.

По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как [math] T [/math] ограничен и биективен, то существует [math] T^ [/math] , который также ограничен. Рассмотрим его.

Теорема об открытом отображении

Определение:
[math] F : X \to Y [/math] — произвольное отображение. Если для любого открытого [math] G \subset X [/math] [math] F(G) [/math] открыто в [math] Y [/math] , то [math] F [/math] называют открытым отображением.

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор. Тогда [math] A [/math] — открытое отображение.

[math] Z = \mathrm A [/math] — линейное подпространство в [math] X [/math] .

Рассмотрим [math] X/_Z [/math] — фактор-подпространство. [math] i : X \to X/_Z, i(x) = [x][/math] , где [math] [x] [/math] — класс смежности [math] x [/math] , [math]i[/math] называется каноническим вложением [math]X[/math] в фактор-пространство. Оператор [math] i [/math] — линейный и ограниченный, переводит открытое множество в [math] X [/math] в открытое множество в [math] X/_Z [/math] TODO: почему это он так делает? , то есть открытый.

  • [math]i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)[/math] — по свойствам фактор-множества
  • [math]i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i [/math] — по свойствам фактор-множства показали линейность.
  • [math]\|i\| = \sup \limits_ \|ix\| = \sup \limits_ \|[x]\| = \sup \limits_ \inf \limits_ \| x- z \|_[/math] [math] \le \sup \limits_ \inf \limits_ (\| x \|_ + \| z \|_) \le 1 + \inf \limits_ \| z \|_ = 1 \lt + \infty [/math] — показали ограниченность

Введем норму как [math]\|[x]\|_ = \inf\limits_ \| x — z \|_X[/math] (заметим, что ее значение не зависит от того, какой [math]x \in [x][/math] выбрать. Покажем, что это действительно норма:

  • положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю только в нулевом классе эквивалентности: пусть [math]x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0][/math] , тогда [math]f(x)\ne 0[/math] и по определению инфимума, существует последовательность [math]z_n \in Z: \|z_n — x\| \to 0[/math] , но тогда [math]x[/math] — предел последовательности [math]z_n[/math] и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие.
  • вторая аксиома очевидна
  • третья аксиома: [math]\|[x] + [y]\| = \inf\limits_ \|x + y — z\|_X = \inf\limits_ \|x — \frac+ y — \frac\| \le \inf\limits_\|x — \frac\| + \inf\limits_ \|y — \frac\|[/math] . Заметим что так как [math]Z[/math] — линейное подпространство, [math]\frac[/math] пробегает те же элементы, что и [math]z[/math] , то есть [math]\inf\limits_\|x — \frac\| + \inf\limits_ \|y — \frac\| = \inf\limits_\|x — z\| + \inf\limits_ \|y — z\| = \|[x]\| + \|[y]\|[/math] .

Рассмотрим [math] U_A : X/_Z \to Y[/math] — оператор, ассоциированный с [math] A [/math] . То, что [math]U_A([x]) = y[/math] , означает, что для некоторого [math]x \in [x], k \in \mathrm A: A(x + k) = y[/math] , заметим, что при этом [math] A = U_A \cdot i [/math] . Покажем ограниченность [math]U_A[/math] : [math]\|U_A\| = \sup\limits_ \|U_a([x])\| = \sup\limits_ \|A (x \in [x])\|[/math] . Покажем, что если [math]\|[x]\| = 1[/math] , то [math]\exists x \in [x]: \|x\| \le 1[/math] , а, значит, [math]\|A x\| \le \|A\|[/math] . TODO: неясно, как показать Таким образом, получим [math]\|x\| \le \|[x]\| = 1[/math] , и получили ограниченность.

Покажем, что [math]U_A[/math] разные классы переводит в разные точки [math] Y [/math] , так как факторизация происходит по ядру [math]A[/math] : пусть [math]U_A([x]_1) = y[/math] и [math]U_A([x]_2) = y[/math] , это значит, что [math]A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) — A(x_2 + k_2) = 0[/math] , по линейности [math]A(x_1 — x_2) + A(k_1 — k_2) = 0 \implies A(x_1 — x_2) = 0[/math] , так как [math]k_1 — k_2[/math] в ядре. Но тогда получили, что [math]x_1 — x_2[/math] также в ядре, то есть [math]x_1[/math] отличается от [math]x_2[/math] на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие.

Ссылки

  • В разработке
  • Функциональный анализ 3 курс

Лабораторная работа 9 Обратные операторы Примеры решения задач

Задача 1 Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А – биекция. Рассмотрим уравнение , которое равносильно системе уравнений

то . Мы получили, что уравнение имеет единственное решение х из . Значит, А – биекция. Более того, из (1) следует, что обратный оператор задается формулой

Ограниченность этого оператора следует из оценки (см (2))

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор.

Запишем его в виде

и рассмотрим уравнение , т. е.

Тогда (3) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (3) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это в (4), без труда находим, что

Итак, уравнение (2) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5). Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме

а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).

Задача 2 Пусть

  1. Что представляет собой область значений R(A) оператора А?
  2. Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?
  3. Является ли оператор ограниченным, если он существует?
  4. Существует ли обратный оператор ?

Решение. 1) Очевидно, что

–множество последовательностей из , первая координата которых равна нулю (проверьте). Заметим, что

2) Так как уравнение имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор В существует. Легко проверить, что

Действительно, при всех х из имеем .

3) Оператор В ограничен, так как

4) Поскольку уравнение не при всех у имеет решение (например, при ), то А не является сюрьекцией. А это значит, что правого обратного оператора не существует. Следовательно, А необратим.

Решение. 1) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что у(0)=0. Обратно, если и у(0)=0, то по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому

2) Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то В – левый обратный для оператора А.

3) Покажем, что В не является ограниченным оператором. Допустим противное, т.е.

Возьмём . Тогда последнее неравенство примет вид . Противоречие.

4) Поскольку , то А не является сюръекцией. Значит, правого обратного оператора не существует. Следовательно, не существует и .

Задача 3 Пусть , где — числовой параметр, Х — банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?

Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение x=y, т. е. линейное дифференциальное уравнение

Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача

для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (1):

Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (8) дает решение задачи (7). Подставив (8) в (7), получим после упрощений

Возможны два случая.

а) . Тогда уравнение (9) имеет единственное решение

для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это С в равенство (8):

В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на [0;1]. Но тогда и равномерно на [0;1].

б) . В этом случае уравнение (9) имеет вид

Так как правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при не будет равна 0, то при этих у уравнение (9) не имеет решения (относительно С), а потому оператор не сюръективен.

Итак, обратный оператор к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких оператор непрерывно обратим.

Задания лабораторной работы

Задача 1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *