Как раскрыть скобки с делением
Перейти к содержимому

Как раскрыть скобки с делением

  • автор:

Как правильно раскрывать скобки в математических выражениях

При раскрытии скобок в выражении используется сочетательное свойство сложения, которое гласит:

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

a + (b +c) = a + b + c

Применяя это свойство, следует придерживаться следующего правила раскрытия скобок:

Если перед скобками стоит знак «+», все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

Это же правило применяется, когда в выражении встречается две или более скобки.

a + (b – c) + d + (-f) = a + b — c + d – f

Сложно с математикой? Не волнуйся, мы поможем! Регистрируйся на курс по математике для 6 класса и мы поможем понять предмет! Записаться ��

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит знак «–», то при их раскрытии следует знаки слагаемых поменять на противоположные.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

Когда в скобках перед первым слагаемым знак отсутствует, то это означает, что оно положительное и при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение подобных примеров состоит из действий:

  • раскрываются скобки;
  • меняется знак каждого слагаемого на противоположный.

x – (y + z) = x – y – z;

m – (-n – p) = m + n + p;

Случаи, когда в выражении присутствуют сложение и вычитание скобок.

10a + (19b – 34c) – 50 – (m + n)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

  • к первой скобке применяется правило сложения;
  • вторая скобка раскрывается правилом вычитания.

10a + 19b – 34 c – 50 – m – n

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Сложное выражение — это выражение, в котором используются скобки и знаки деление/умножение.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении строятся на основании работы распределительного или сочетательного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия внутри скобок. Если это сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении применяется сочетательное свойство.

1. Раскрытие скобок, согласно распределительному свойству.

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

a ∙ (b + c) = ab + ac

(a + b) ∙ c = ac + bc

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac − bc

Примечание 2

В математике для сокращения записей знак умножения перед числом и скобкой не ставится.

Если общий множитель является отрицательной величиной, то все значения в скобках умножаются на (–1) и меняют свои знаки на противоположные:

2. Раскрытие скобок, согласно сочетательному свойству:

Произведение трех и более множителей не изменится, если эту группу множителей заменить их произведением.

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c ∙ d) ∙ a = b ∙ c ∙ d ∙ a

В случае, когда в скобках выполняется умножение, раскрытие происходит как при сложении — просто раскрываются скобки и все значения перемножаются:

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ a

Примечание 3

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков.

При делении внутри скобок, раскрытие происходит следующим образом:

Когда общий множитель находится перед скобками, то:

  • общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

a ⋅ (b : с) = a ⋅ b : с;

  • или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

a ⋅ (b : с) = a : c ⋅ b.

Когда общий множитель находится после скобок, то:

  • общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(a : b) ⋅c = с ⋅ a : b;

  • общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(a : b) ⋅ c =с : b ⋅ a.

Скобка на скобку

Когда требуется перемножить несколько скобок друг на друга, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c – d) = a ⋅ (c – d) + b ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd

Алгоритм действий при раскрытии скобки на скобку:

  1. Первая скобка раскрывается, каждое ее слагаемое умножается на вторую скобку.
  2. Выполняется умножение числа на скобку, приводятся подобные слагаемые.

Скобка в скобке

В математике могут встречаться примеры, когда скобки входят в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примеров:

  1. Последовательно раскрывается каждая скобка, начиная с внутренней.
  2. Скобки раскрываются согласно принятым правилам раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
  3. Приводятся подобные слагаемые для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 – (2x – y)) = 8x + y(4 – 2x + y) = 8x + 4y – 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

  1. Случаи, когда в скобках выполняется сложение или вычитание.

Если знак деления стоит после скобок — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок:

(a + b) : c = a : c + b : c;

(a – b) : c = a: c – b : c.

Если знак деления стоит перед скобками, то делимое делится на каждое число в скобках:

c : (a + b) = c : a + c : b;

c : (a – b) = c : a – c : b.

  1. В случае, когда в скобках выполняется умножение, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

  • делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

a : (b ⋅ c) = a : b : c;

  • или делимое делится на второе число в скобках, а потом делится на первое:

a : (b ⋅ c) = a : c : b.

Если знак деления стоит после скобки:

  • первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(b ⋅ c) : a = (b : a) ⋅ c ;

  • или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(b ⋅ c) : a = (c : a) ⋅ b .

Если внутри скобок выполняется деление:

  • делимое делится на первое число внутри скобки и умножается на второе:

a : (b : c) = a : b ⋅ c;

  • первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(b : с) : a = b : c : a.

Не забываем, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков, описанное выше:

Примеры решения задач

Сложение.

Формулы раскрытия скобок:

a + (b +c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

120 + (350 + 270) = 120 + 350 + 270

25 + (37a – 10b) = 25 + 37a – 10b

1000 + (-420 + 4) = 1000 – 420 + 4

268 + (-150 – 79) = 268 – 150 – 79

956 + (67 – 96 + 48) – 832 = 956 + 67 – 96 + 48 – 832

780 + (1348 + 290) + (420 – 100) = 780 + 1348 + 290 + 420 – 100

Вычитание.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

45 – (-7 + 14) = 45 + 7 — 14

10 – (2 + 3) = 10 – 2 — 3

255 – (177 + 58 – 200) = 255 – 177 – 58 + 200

1375 – (-219a – 35b) + 27 = 1375 + 219a + 35b

390 + (734 – 220) – 79 – (100 + 657) = 390 + 734 – 220 – 79 – 100 – 657

Умножение.

Умножение, когда в скобках сложение.

(a + b) ∙ c = ac + bc

8 ∙ (2 + 3) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 3

(4 + 5) ∙ 7 = 4 ∙ 7 + 4 ∙ 7

Умножение, когда в скобках вычитание.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac — bc

7 ∙ (8 – 6) = 7 ∙ 8 – 7 ∙ 6

(12 – 3) ∙ 5 = 12 ∙ 5 – 3 ∙ 5

Умножение, когда перед скобками стоит «-»

-9 ∙ (2 + 3) = -9 ∙ 2 – 9 ∙ 3

-4 ∙ (10 – 5) = -4 ∙ 10 + 4 ∙ 5

Умножение за скобками и внутри скобок.

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ а

2 ∙ (5 ∙ 7) = 2 ∙ 5 ∙ 7

(3 ∙ 4) ∙ 8 = 3 ∙ 4 ∙ 8

Умножение, когда внутри скобок деление.

a ∙ (b : с) = a ∙ b : с

a ∙ (b : с) = a : c ∙ b

(a : b) ∙ c = c ∙ a : b

(a : b) ∙ c = c : b ∙ a

6 ⋅ (9 : 3) = 6 ⋅ 9 : 3

6 ⋅ (9 : 3) = 6 : 3 ⋅ 9

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 ⋅ 9 : 3

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 : 3 ⋅ 9

Умножение скобки на скобку.

(a + b) ⋅ (c — d) = a ⋅ (c — d) + b ⋅ (c — d) = ac – ad + bc — bd

(7x + 3) ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ (8x – 5) + 3 ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ 8x – 7x ⋅ 5 + 3 ⋅ 8x – 3 ⋅ 5 = 56 x² – 35x + 24x – 15 =

Деление.

Деление, когда внутри скобок сложение или вычитание.

(a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

c : (a + b) = c : a + c : b

c : (a – b) = c : a – c : b

(12 + 6) : 3 = 12 : 3 + 6 : 3

(12 – 6) : 3 = 12 : 3 – 6 : 3

18 : (6 + 3) = 18 : 6 + 18 : 3

18 : (6 – 3) = 18 : 6 – 18 : 3

Деление, когда внутри скобок умножение или деление.

a : (b ⋅ c) = a : b : c

a : (b ⋅ c) = a : c : b

(b ⋅ c) : a = b : a ⋅ c

(b ⋅ c) : a = c : a ⋅ b

a : (b : c) = a : b ⋅ c

(b : с) : a = b : c : a

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 12 : 2

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 2 : 12

(12 ⋅ 2) : 24 = 12 : 24 ⋅ 2

(12 ⋅ 2) : 24 = 2 : 24 ⋅ 12

24 : (12 : 2) = 24 : 12 ⋅ 2

(24 : 6) : 2 = 24 : 6 : 2

как раскрыть скобку, если перед скобкой стоит знак деления?

Смотря что стоит в скобках: если сумма, то никак; если произведение, то надо разделить на каждый множитель в скобках.

Следующий ответ за моим меня сильно умилил.

Остальные ответы
допостим 50:(10+10)
50:10+50:10
например: 33х+3х+5х: (2х+5х)
как раскрыть скобку, если перед скобкой стоит знак деления? 10:(5-х) =5
круто спасибки
20; (3+5)=20:3+20:5
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Раскрытие скобок

В числовых выражениях с несколькими действиями те действия, которые надо выполнить раньше других, выделяются скобками. Если Вы частый гость в нашей Базе знаний, то из прошлых статей Вы уже узнали о принципах вычисления со скобками. Однако ещё ни разу мы не рассказывали о возможности раскрыть скобки! Делается это особенным образом. Теме “Раскрытие скобок” посвящён сегодняшний материал.

Давайте рассмотрим случаи сложения и вычитания.

Сложение

Когда есть только знаки “+”, скобки просто опускаются и происходит вычисление:

Вычитание

Однако со знаком “минус” дела обстоят иначе. При раскрытии скобок все знаки меняются на противоположные.

В качестве примера возьмём числовое выражение 34 — (17 + 7) =

Умножение

Возьмём такое числовое выражение:

Чтобы раскрыть скобки, надо число 15 умножить на каждое число, стоящее в скобках. Суммируем между собой произведения. Вот так:

15 * 2 + 15 * 5 = 30 + 75 = 105

Деление

Так же, как и с умножением, мы делим 24 на каждое число из скобок и складываем частные:

24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18

Итак, давайте сформулируем основные правила раскрытия скобок.

  1. Знак “+” перед скобками — просто опускаем скобки, знаки остаются без изменений.
  2. Знак “-” перед скобками — раскрываем, знаки меняются на противоположные.
  3. Знак “*” перед скобками или после них — умножаем число, стоящее перед скобками или после них на то, что находится в скобках. Произведения складываются или вычитаются, в зависимости от знака в скобках.
  4. Знак “:” — число перед скобками делим на числа, стоящие в скобках. Частные складываем или вычитаем, в зависимости от знаков внутри скобок.

Детальнее изучить тему раскрытия скобок и попрактиковаться на примерах Ваш ребёнок может на бесплатном занятии в онлайн-школе математики World of Math.

Записаться на урок можно можно здесь!

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Справочник

Умение правильно раскрывать скобки в математических выражениях – это залог их правильного решения. Рассмотрим подробнее, что диктуют правила математики, и как их использовать на примерах.

Что представляет собой раскрытие скобок

С помощью скобок принято определять порядок действий в числовых и буквенных выражениях. Встречаются они и в примерах с переменными. Тем, кому приходилось решать такие примеры, знают, что от выражения в скобках легко переходить к тождественным выражениям без них.

Пример:

Это и есть переход к тождественным выражениям без скобок, то есть их раскрытие.

Определение

Раскрытие скобок – это действия, направленные на избавления от них, которые применяются в отношении выражений, в которых:

  • знаки «+», «-» стоят перед скобками, а в них размещены примеры на сложение или вычитание;
  • числовые или буквенные произведения, а также выражения суммы или разности, которые заключены в скобках.

Сам процесс избавления, или раскрытия рассматривается еще в пределах школьной программы. Самые простые выражения учатся решать школьники начальных классов.

Если посмотреть на процесс шире, и выйти за пределы стандартной школьной программы, можно увидеть, что с помощью таких действий можно решать выражения с отрицательными числами.

Пример:

В итоге после раскрытия получаем:

Можно раскрывать скобки в выражениях с числовым и буквенным произведением. В данном случае произведение будет заменено суммой:

(x+y)*(z+e) заменяем на x*z+x*e+y*z+y*e.

Раскрытие скобок в математике может предполагать работу с дробями, уравнениями, и прочими видами переменных. Рассмотрим подобный пример более детально:

После преобразования будет иметь следующий вид:

у 2 *2/b+y 2 *y-y 2 *cos(a)

Есть еще одна особенность, которая заслуживает внимания. Правила раскрытия скобок не исключают возможности оформления преобразованного выражения с исходным через знак равенства. Берем пример 2-(6-4). Если мы преобразуем его, получим: 2-6+4. Между исходным и полученным вариантами можно поставить знак равенства: 2-(6-4)=2-6+4

Если приходится решать длинные примеры со множеством действий, может потребоваться записывать промежуточные результаты:

Раскрытие скобок и приведение подобных с примерами

Правила и закономерности раскрытия скобок зависят от того, какие числа или буквенные выражения заключены в скобках.

Одиночные цифры в скобках

В скобках могут быть размещены, как положительные, так и отрицательные числа. Начнем с положительных цифр. Для более детального и понятного разбора любое положительное число представим, как x. В таком случае можно заменить x на x, +(x) на +x, -(x) на –x.

Теперь возьмем реальный пример, где вместо x будут числовые значения. В соответствии с правилом, число 4 мы представим, как 4, выражение 2+(4) будет иметь вид 2+4 в связи с тем, что +(4) преобразуется в +4. Выражение 2+(-4) при раскрытии скобок будет выглядеть, как 2-4, так как +(-4) аналогично -4.

Если имеет дело с положительными цифрами, скобки можем просто опустить, так как они не имеют никакого смысла.

Из приведенных выше примеров вытекает первое правило:

Если перед скобками стоит знак плюс, то все числа, которые стоят внутри, сохраняют свой знак.

Формула раскрытия скобок:

Если внутри расположено одиночное отрицательное число, то скобки раскрываются следующим образом:

+(-x) будет выглядеть, как –x

-(-x) будет выглядеть, как +x.

Отсюда вытекает еще одно правило раскрытия скобок.

Если впереди стоит знак минус, то все цифры внутри меняют знак на противоположный.

Формула будет выглядеть следующим образом.

Если перед скобками нет никакого знака, а внутри них отрицательное число, то скобки просто опускаются, и минус сохраняется.

Примеры:

  • (-2) превратится в -2;
  • (-1)+2 превратится в -1+2;
  • 5+(-2) будет иметь вид 5-2;
  • -(-1) превратится в +1.

Преобразование выражений, где есть произведение, происходит по-другому. Выражение 2*(-1) записать, как 2*-1 невозможно.

Согласно правилам разность b-a равна b+(-a). Исходя из этого, можно сформировать цепочку:

(b+(-a))+a=b+((-a)+a)=b+0=b, что будет вполне закономерно.

Эта цепочка доказывает, что b+(-a) это та же разность b-a.

Если опираться на основы вычитания и правила вычитания отрицательных чисел, то мы получим:

Иногда встречаются выражения с большим количеством скобок. Раскрытие скобок и приведение подобных в таких примерах производится последовательно с учетом всех существующих правил.

Рассмотрим подробнее. Если взять выражение -(-((-(2)))), то избавляться от скобок стоит, начиная изнутри выражения:

Под буквами a и b можно понимать не только буквенные, но и любые численные выражения, которые имеют впереди знак плюс и не рассматриваются в контексте сложения или вычитания. В таких случаях правила действуют точно так же, как и в рассмотренных примерах.

К примеру, после раскрытия скобок выражение \[-(-2 \cdot x)-\left(x^\right)+\left(-\frac\right)-\left(2 \cdot x \cdot y^: z\right)\] примет вид \[2 \cdot x-x^-\frac-2 \cdot x \cdot y^: z \]. Как мы это сделали? Мы знаем, что \[-(-2 \cdot x)\] есть \[+2 \cdot x\], а так как это выражение стоит вначале, то \[+2 \cdot x\] можно записать как \[2 \cdot x,-\left(x^\right)=-x^\], \[+\left(-\frac\right)=-\frac n-\left(2 \cdot x \cdot y^: z\right)=-2 \cdot x \cdot y^: z\].

Правила раскрытия скобок с произведением двух чисел

Наиболее типичный случай – когда x и y – это две положительные цифры. В таком случае если мы берем две отрицательных цифры, то их произведение будет выглядеть так:

Если две цифры имеют противоположные знаки, то выражение преобразование произведения будет выглядеть так:

Умножение двух отрицательных чисел дает в итоге положительное, а произведение плюса на минус или минуса на плюс дает минус.

Если речь идет о первой части приведенного примера, то будем использовать правило произведения двух отрицательных множителей. Во втором случае применено правило произведения цифр с разными знаками.

Возьмем произведение двух отрицательных цифр -5 и -3/4. Пример записываем следующим образом:

Когда перед нами два простых отрицательных числа, произведение будет таким:

Знаки при раскрытии скобок играют ключевую роль независимо от того, приходится умножать, отнимать или слагать.

Пример произведения чисел с разными знаками:

Если нам нужно разделить, то предварительно потребуется избавиться от скобок:

Произведение трех и более множителей

Чтобы правильно решать подобные примеры, потребуется применить следующее правило: при наличии четного количества отрицательных цифр скобки просто опускаются, знак меняется на противоположный. Полученный пример полностью берется в скобки.

Если количество множителей нечетное, скобки убираются, знак меняется на противоположный. Полученное выражение вновь помещается в скобки, перед которыми ставится знак «-».

Мы имеем три множителя, два из которых отрицательные. Это четное число, значит, мы можем преобразовать выражение так:

Потом можно просто опустить скобки и записать произведение без них:

Теперь возьмем для рассмотрения иной пример:

В данном примере всего 6 чисел, пять из которых отрицательные.

Опускаем скобки и получается:

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «плюс»

Простейший пример – когда перед скобками стоит знак «плюс», а внутри простые однозначные числа, которые не делятся и не умножаются. В соответствие с правилом знак вместе со скобками просто опускаются, а цифры внутри него знаков не меняют.

Пример:

Скобки просто убираем, все знаки цифр внутри сохраняем: +10-4-1=10-4-1

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «минус»

В качестве примера возьмем выражение, в котором впереди стоит знак «минус», а внутри однозначные числа, которые не делятся и не множатся.

Правило простое: скобки и минус опускаются, все знаки внутри меняются на противоположные.

Образец подобного выражения:

Раскрытие скобок, если они умножаются на одиночное число или выражение

Формула будет выглядеть так:

\[(a 1 \pm a 2 \pm \ldots \pm a n) \cdot b=(a 1 \cdot b \pm a 2 \cdot b \pm \ldots \pm a n \cdot b)\] или \[b \cdot(a 1 \pm a 2 \pm \ldots \pm a n)=(b \cdot a 1 \pm b \cdot a 2 \pm \ldots \pm b \cdot a n), \text < где >a 1, a 2, \ldots, \text < an и >b\] — некоторые числа или выражения.

Рассмотрим преобразование выражений на простом примере:

Если действовать по правилам, получаем:

Нет времени решать самому?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *