Какая последняя цифра числа 2 1995
Перейти к содержимому

Какая последняя цифра числа 2 1995

  • автор:

Какая последняя цифра числа 2 1995

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

  • ЗАДАЧИ
  • 6 класс
  • Письменная работа
  • Задачи для знакомства
  • Ацнок с зиланА
  • Чётность
  • Делимость
  • В триодиннадцатом королевстве
  • Алгоритмы
  • Математические игры
  • Движение и работа
  • Геометрия
  • Комбинаторика
  • Комбинаторика — 2
  • Задачи на повторение
  • Математическая абака
  • География и путешествия
  • Признаки делимости
  • Последовательности
  • От противного
  • Графы
  • Шахматы
  • Раскраски
  • Последняя цифра
  • Оценка плюс пример
  • Лингвистика
  • История математики
  • ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
  • Доп. набор 1
  • Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Как узнать последнюю цифру числа?

В зависимости от последней цифры числа с числом нужно делать различные действия.Для этого нужно узнать последнюю цифру.Пример: у числа 765 последняя цифра — 5.

  • Вопрос задан более двух лет назад
  • 15363 просмотра

1 комментарий

Простой 1 комментарий

Ni55aN

преобразовать в строку и получить последний символ этой строки
Но нужно еще уточнить какие могут быть числа. Если вещественные, то нужно получать последнюю цифру остатка или целой части?

Решения вопроса 1
Stalker_RED @Stalker_RED
Последняя цифра — это остаток при делении на 10.
const lastDigit = 765 % 10; // -> 5
Ответ написан более двух лет назад
Нравится 7 5 комментариев
Почему выходит, что остаток при делении на 10 это последняя цифра?
Stalker_RED @Stalker_RED

rd100, потому что десятичная система же.
Давайте разделим 42 на 10. Выйдет 4 и остаток — 2.
Разделим 293857257287 на 10. Выйдет 29385725728 и остаток 7. И нет, я не делил, я просто скопировал все числа кроме семерки, но можете проверить на калькуляторе.

Stalker_RED, спасибо
А при делении 5 на 10, он возвращает 0 и остаток 5?
Stalker_RED @Stalker_RED
rd100, конечно.
Вот тут подробно
https://youtu.be/4HDiMon4M50

bolossev666

Богдан @bolossev666
Ответы на вопрос 2

bingo347

Дмитрий Беляев @bingo347 Куратор тега JavaScript
Crazy on performance.

Для целых чисел все просто, как уже верно заметил Stalker_RED достаточно взять остаток от деления на 10 n % 10
Но вот с дробными числами все намного интереснее. Потенциально, можно получить целое представление последовательно умножая число на 10 (сдвигая тем самым десятичную точку вправо), а после воспользоваться предыдущим приемом. Но проблема тут в том, что потенциально такая последовательность может оказаться бесконечной и такой алгоритм зациклится.
Если обратится к стандарту IEEE 754, то можно узнать, что в 64 битах можно точно представить не более 16 десятичных разрядов, а это уже можно использовать как ограничитель, так как при превышении 16 сдвигов десятичной точки значение все равно уже не будет точным

const lastDigit = n => < // в n совсем не то if (isNaN(n) || !isFinite(n)) return NaN; // в n целое if (n % 1 === 0) return n % 10; // для дробных проще со строкой работать const s = String(Math.abs(n)); // неточные значения if (s.length >16 || s.includes('e')) return NaN; return +s.slice(-1); >

Какая последняя цифра числа 2 1995

Заменить разные буквы разными цифрами, одинаковые — одинаковыми, а звёздочки — любыми так, чтобы получился правильный пример.

Решение

Очевидно, что вторая цифра множителя — нуль. Посмотрим, какими могут быть первая и третья цифры множителя. Видно, что если умножить 1995 на последнюю цифру множителя, то получится пятизначное число, а если на первую — то четырёхзначное.

Выпишем произведения числа 1995 на все ненулевые цифры: 1995 . 1 = 1995, 1995 . 2 = 3990, 1995 . 3 = 5985, 1995 . 4 = 7980, 1995 . 5 = 9975, 1995 . 6 = 11970, 1995 . 7 = 13965, 1995 . 8 = 15960, 1995 . 9 = 17955.

Получается, что последней цифрой множителя может быть 6, 7, 8 или 9, а первой — 1, 2, 3, 4 или 5. Сейчас уже можно просто перебрать все допустимые варианты выбора первой и последней цифры (их всего 20 — объясните, почему).

Но лучше ещё немного порассуждать и сократить себе работу по перебору вариантов.

Заметим, что при умножении 1995 на первую цифру множителя получается четырёхзначное число (*ГОД), у которого последние три цифры различны (по условию, разные буквы обозначают разные цифры). Поэтому число *ГОД не может быть равным 1995 и 3990. Значит, для первой цифры осталось только три варианта: 3, 4, 5. А всего вариантов выбора первой и последней цифры множителя осталось 12 (почему?).

Теперь посмотрим на пятизначное число, полученное при умножении 1995 на последнюю цифру множителя. Видно, что две его последние цифры должны быть различными (почему?), и поэтому, оно не равно 17955. Значит, последняя цифра множителя — не 9.

Итак, для первой цифры осталось только три варианта (3, 4, 5), а для последней тоже только три (6, 7, 8). Значит, осталось 9 вариантов выбора первой и последней цифры.

Теперь заметим, что четыре цифры О, Д и Ь, И различны. Отсюда простыми рассуждениями получаем, что для множителя остаётся только четыре варианта: 308, 306, 407 и 508.

Это уже небольшой перебор, который можно быстро провести, и найти ответ. (В принципе можно было ещё заметить, что если первая цифра 5, то *ГОД= 9950, при сложении обязательно произойдёт перенос в следующий разряд, и итог будет не шестизначным, а семизначным. Поэтому для первой цифры остаётся только два варианта: 3 и 4. А для множителя — только три: 308, 306, 407.)

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 1995
класс
1
Класс 6
задача
Номер 4

Дано число 2^(1995). Как найти последнюю цифру этого числа, остаток от деления на 7 и всего цифр в этом числе?

1) Последняя цифра этого числа.
Запишем это число так: 2¹⁹⁹⁵ = 2^(4·998 + 3) = 16⁴⁹⁸ · 8
Так как 16 в любой натуральной степени оканчивается на 6, а 6·8 = 48, то последняя цифра числа 2¹⁹⁹⁵ равна 8.
Ответ: 8

2) Остаток от деления на 7.
2¹ — при делении на 7 получится остаток 2
2² — при делении на 7 получится остаток 4
2³ — при делении на 7 получится остаток 1
Остатки повторяются с периодом T = 3. Так как 1995 = 3·665, то 2¹⁹⁹⁵ при делении на 7 получится остаток 1.
Ответ: 1

3) Всего цифр в числе.
Вычислим десятичный логарифм от числа 2¹⁹⁹⁵
lg 2¹⁹⁹⁵ = 1995·lg 2 ≈ 600,555. Видим, что характеристика логарифма равна 600, значит порядок числа 2¹⁹⁹⁵ равен 600, а поэтому в числе 2¹⁹⁹⁵ — 601 цифра.
Ответ: 601

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *