Как посчитать вероятность события из нескольких попыток
Перейти к содержимому

Как посчитать вероятность события из нескольких попыток

  • автор:

Решение задач с формулировкой «хотя бы один»

Поговорим о задачах, в которых встречается фраза «хотя бы один». Наверняка вы встречали такие задачи в домашних и контрольных работах, а теперь узнаете, как их решать. Сначала я расскажу об общем правиле, а потом рассмотрим частный случай независимых событий и схемы Бернулли, выпишем формулы и примеры для каждого.

Общая методика и примеры

найти вероятность, что произойдет хотя бы

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза «хотя бы один» такая:

  1. Выписать исходное событие $A$ = (Вероятность того, что . хотя бы . ).
  2. Сформулировать противоположное событие $\bar$.
  3. Найти вероятность события $P(\bar)$.
  4. Найти искомую вероятность по формуле $P(A)=1-P(\bar)$.

Частный случай. Независимые события

Частный случай. Повторные испытания

Думаете, дальше будет сложнее? Напротив, случаи все более частные, решения и формулы все более простые. Итак, у нас есть $n$ независимых событий (или повторений некоторого опыта), причем вероятности наступления этих событий (или наступления события в каждом из опытов) теперь одинаковы и равны $p$. Тогда формула (1) упрощается к виду : $$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot . \cdot q_n = 1-q^n. $$ Фактически мы сужаемся к классу задач, который носит название «повторные независимые испытания» или «схема Бернулли», когда проводится $n$ опытов, вероятность наступления события в каждом из которых равна $p$. Нужно найти вероятность, что событие появится хотя бы раз из $n$ повторений: $$ P=1-q^n. \quad(2) $$ Подробнее о схеме Бернулли можно прочитать в онлайн-учебнике, а также посмотреть статьи-калькуляторы о решении различных подтипов задач (о выстрелах, лотерейных билетах и т.п.). Ниже же будут разобраны задачи только с «хотя бы один». Пример 7. Пусть вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта. Решения короче вы еще не видели.
Просто выписываем из условия: $n=3$, $p=0,9$, $q=1-p=0,1$.
Тогда вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта, по формуле (2): $$ P=1-0,1^3=1-0,001=0,999 $$ Ответ: 0,999. Пример 8. Производится 5 независимых выстрелов по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание. Опять, начинаем с формализации задачи, выписывая известные величины. $n=5$ выстрелов, $p=0,8$ — вероятность попадания при одном выстреле, $q=1-p=0,2$.
И тогда вероятность того, что будет хотя бы одно попадание из пяти выстрелов равна: $$ P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968 $$ Ответ: 0,99968. Думаю, с применением формулы (2) все более чем ясно (не забудьте почитать и о других задачах, решаемых в рамках схемы Бернулли, ссылки были выше). А ниже я приведу чуть более сложную задачу. Такие задачи встречаются пореже, но и их способ решения надо усвоить. Поехали! Пример 9. Производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A появляется с вероятностью 0,7. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать хотя бы одно появление события A? Имеем схему Бернулли, $n$ — количество опытов, $p=0,7$ — вероятность появления события А. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие А в $n$ опытах, равна по формуле (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0,7)^n=1-0,3^n $$ По условию эта вероятность должна быть не меньше 0,95, поэтому: $$ 1-0,3^n \ge 0,95,\\ 0,3^n \le 0,05,\\ n \ge \log_ 0,05 = 2,49. $$ Округляя, получаем что нужно провести не менее 3 опытов. Ответ: минимально нужно сделать 3 опыта.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Полезные ссылки

  • Калькуляторы на схему Бернулли
  • Основные формулы комбинаторики
  • Примеры решений задач по теории вероятностей
  • Заказать свои задачи на вероятность

Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу

4.4.3. Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий ,

определяется по формуле:

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.

Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:

Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1– р2=1–0,7=0,3.

Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (4.8):

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

  1. Хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
  2. Одного и только одного попадания в цель.
  3. «Попадут в цель только два стрелка».
  4. «Попадут в цель все стрелки одновременно».
  5. Промаха всех стрелков одновременно.

Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:

Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,75.

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель по формуле (4.8): P ( A + B + C )=1- P ( ` A ) × P ( ` B ) × P ( ` C ).

P(A+B+C)=1– (1–0,6)×(1– 0,7)×(1– 0,75)=1– 0,4×0,3×0,25 =1-0,03= 0,97.

2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D – событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D = A × ` B × ` C +` A × B × ` C +` A × ` B × C .

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (4.2а), (4.7):

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка.

Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка.

X= ` A × B × C+ ` B × A × C+ ` C × A × B.

Тогда вероятность того, что попадут в цель только два стрелка, равна:

P(X)=(1– 0,6)×0,7×0,75+0,6×(1– 0,7)×0,75+0,6×0,7×(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.

Событие ABC – все стрелки попали в цель.

Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно равна:

P(A × B × C) = P(A) × P(B) × P(C) = 0,6 × 0,7 × 0,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р().

Событие ` A × ` B × ` C – все промахнулись. Вероятность промаха всех стрелков одновременно: P `( A × ` B × ` C )=0,4 × 0,3 × 0,25=0,03.

Для проверки правильности решения используют формулу (4.3) для полной группы событий:

Р (D) + P(X) + P(A × B × C) + Р ( ` A × ` B × ` C) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.

Вероятность возникновения некоторого числа событий при проведении нескольких испытаний. Испытания Бернулли.

Используя формулу Бернулли, вычисляет вероятность возникновения нескольких событий. Таблица и график функции биноминального распределения показывает вероятность всех возможных случаев.

Предположим у нас есть ящик с 5-ю шарами четыре белых и один черный. Каждый раз мы берем один шар из ящика и возвращаем его обратно. Как определить какова вероятность того, что за 10 повторений мы 2 раза достанем черный шар?
Подобные задачи легко решаются, при помощи формулы Бернулли, определяющей вероятность того, что в n независимых испытаниях будет ровно k раз наблюдаться событие, вероятность которого = p.
Формула имеет вид:

где p — вероятность возникновения события, — количество сочетаний n по k.
Подробности — сразу за калькулятором.

Как вычислить вероятность

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество источников, использованных в этой статье: 10. Вы найдете их список внизу страницы.

Количество просмотров этой статьи: 739 200.

В этой статье:

Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений. [1] X Источник информации Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей.

Метод 1 из 3:

Вероятность единичного случайного события

Step 1 Выберите событие со взаимоисключающими результатами.

Выберите событие со взаимоисключающими результатами. Вероятность можно рассчитать лишь в том случае, если рассматриваемое событие либо происходит, либо не происходит. Нельзя одновременно получить какое-либо событие и противоположный ему результат. Примером таких событий служат выпадение 5 на игровом кубике или победа определенной лошади на скачках. Пять либо выпадет, либо нет; определенная лошадь либо придет первой, либо нет. [2] X Источник информации

Например:» невозможно вычислить вероятность такого события: при одном броске кубика выпадут 5 и 6 одновременно.

Step 2 Определите все возможные.

  • Пример 1. Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? В данном случае событием является «выбор дня, который приходится на выходные», а число возможных исходов равно количеству дней недели, то есть семи.
  • Пример 2. В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Событием является «вынуть красный шар», а число возможных исходов равно общему количеству шаров, то есть двадцати.

Step 3 Поделите число событий на количество возможных исходов.

  • Пример 1. Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? Число событий равно 2, так как в одной неделе два выходных дня, а общее количество исходов составляет 7. Таким образом, вероятность равна 2/7. Полученный результат можно записать также как 0,285 или 28,5 %.
  • Пример 2. В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Число событий равно 5, поскольку в коробке 5 красных шаров, а общее количество исходов составляет 20. Находим вероятность: 5/20 = 1/4. Полученный результат можно записать также как 0,25 или 25 %.

Step 4 Сложите вероятности всех.

  • Например, вероятность выпадения 3 при бросании игрового кубика составляет 1/6. При этом вероятность выпадения любой другой цифры из пяти оставшихся также равна 1/6. В результате получаем 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, то есть 100 %.
  • Если вы, например, забудете о цифре 4 на кубике, сложение вероятностей даст вам лишь 5/6, или 83 %, что не равно единице и указывает на ошибку.

Step 5 Представьте вероятность невозможного исхода в виде 0.

  • Например, если бы вы вычисляли вероятность того, что в 2020 году Пасха придется на понедельник, то получили бы 0, поскольку Пасха всегда празднуется в воскресенье.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *