Логарифм без основания как решать
Перейти к содержимому

Логарифм без основания как решать

  • автор:

3.7. Логарифмы и логарифмическая функция

Рассмотрим уравнение , которое задаёт нам вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? На этот вопрос отвечает логарифм , который равен трём: . …замысловато? Ну не зря же это проходят в старших классах J.
– в какую степень нужно возвести «е», чтобы получить 1?
– в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 1/100?
И вообще, – в какую степень нужно возвести «а», чтобы получить «бэ»?

Логарифмом числа по основанию :
– называется степень «пэ» , в которую нужно возвести «а», чтобы получить «бэ».
Из чего следует основное логарифмическое тождество: .
тождество – это такое железобетонное равенство 🙂
Сама запись читается как « логарифм «бэ» по основанию «а» », и очевидно, что логарифм определён лишь для положительных «бэ»: – по той причине, что любое положительное «а» в любой действительной степени «пэ»: – положительно.
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, и для краткости обозначают значком , например: .
Логарифм по основанию «е» называют натуральным логарифмом и обозначают значком , например: . В высшей математике в ходу именно натуральные логарифмы, и в дальнейшем мы уделим им самое пристальное внимание.

Свойства логарифмов

Как и в случае со степенями / корнями, я не буду разбирать все свойства, а остановлюсь лишь на тех, которые имеют большое значение для практики.
Переход к новому основанию: , причём новое основание «цэ» вы можете выбрать по своему желанию (из доступных вариантов: ), например:
. Но гораздо чаще встречается частный случай формулы: , например: . Разумеется, формула работает и в обратном направлении, что бывает удобным, когда нужно избавиться от знаменателя: .
Если то справедливо следующее (и слева направо и справа налево):

Например: .
Обращаю внимание, что эти действия выполнимы только для логарифмов с одинаковыми основаниями, не путайте с «похожими» ситуациями: , или . Однако в последнем случае можно сделать так: .
Далее. Для и любого действительного числа :

Например: – и это просто волшебство! Ведь это здОрово избавиться от 50-й степени! Популярно и обратное действие, особенно, когда нужно выполнить другие упрощения:
Перечисленные правила можно распространить на отрицательные значения «бэ», но тогда нужно добавить модули:

, если чётное. Например: – и равносильность соблюдена, поскольку полученный логарифм тоже определён для отрицательных «икс».
А вот такое преобразование неравносильно: , и поэтому здесь следует обязательно указать, что .
В случае иных значений модуль не нужен: – по той причине, что и исходные и полученные логарифмы определены только для положительных значений «икс».

Логарифмирование и потенцирование

Логарифмирование – это перевод чисел или уравнений в логарифмический масштаб или, попросту говоря, «навешивание» логарифмов.
Данное действие удобно использовать при работе с астрономическими или микроскопическими числами, особенно, если они находятся в произведении. Так, число целесообразно упростить, «навесив» на него логарифм, выгодно взять десятичный логарифм: – далее переводим другие числа в тот же масштаб (логарифмируем по основанию десять)
и работаем (выполняем действия) с гораздо более удобными значениями.
Логарифмирование незаменимо при решении некоторых уравнений, например:

Для разрешения этого уравнения относительно «икс» «навесим» на обе его части логарифмы, обычно используют натуральные логарифмы:

в левой части «сносим» степень, и порядок:

и «любительская» проверочка: , около 80, что и требовалось проверить.
При логарифмировании нужно следить за знаками, так, обе части уравнения (функции) определены и положительны при любом значении «икс», поэтому здесь можно смело логарифмировать: , получая равносильное уравнение.
А вот у функции обе части могут быть меньше нуля, и поэтому здесь нужно добавить модули: , квадратному корню модуль не нужен: . Однако это действие всё равно неравносильно т.к. мы потеряли значение (почему?). Но это не помеха для решения некоторых задач, например, для нахождения производной, где можно пренебречь даже модулями. Да, а зачем логарифмировать? Чтобы упростить правую часть: .

Потенцирование – это обратная операция, «избавление» от логарифмов.
Предположим юные физики вдоволь нарезвились с вычислениями в десятичном логарифмическом масштабе, и хотят перевести результат обратно. Без проблем:
, используем свойства степеней, логарифмов и основное логарифмическое тождество: .
Потенцирование используют для того, чтобы выразить функцию в явном виде, например: – «упаковываем» логарифмы в правой части:

, после чего просто убираем логарифмы и модули заодно:

Такие действия выполняют при решении некоторых дифференциальных уравнений

Логарифмическая функция и её график

В логарифмической функции фиксируется основание «а», а значение «бэ» является независимой переменной:
– данная функция каждому положительному значению «икс» ставит в соответствие степень «игрек», такую, что:
Таким образом, логарифмическая и показательная функция – это две взаимно обратные функции, и график логарифма тоже представляет собой экспоненциальную кривую, только расположена она по-другому. Так, график натурального логарифма имеет следующий вид (запомните его!):
Удобные опорные точки:

Принципиально так же выглядит график любого логарифма с основанием , в частности, десятичный логарифм

Если , то графики оказываются «развёрнутыми наоборот» относительно оси , например, . Но такие логарифмы в высшей математике встречаются довольно редко.

Однако и в том и в другом случае логарифмическая функция проходит через точку , а ось является вертикальной асимптотой графика.
Если «начинка» логарифма более сложная, то, естественно, график будет видоизменяться и мигрировать вместе с асимптотой. Построим, например, график функции . Это удобно сделать по следующей схеме: сначала из уравнения находим вертикальную асимптоту (оранжевый пунктир на чертеже). Теперь нужно выяснить область определения функции. Логарифм определён только в том случае, если его «начинка» строго больше нуля: , и преобразуя это простое неравенство, получаем, что: . Найдём затем несколько опорных точек:

и аккуратно соединим их линией. Для вычисления «игреков» удобно использовать калькулятор, например, Калькулятор, приложенный к этой книге.
Ещё пример (на чертеже отсутствует): – график этого логарифма имеет две симметричные относительно оси ветви (т.к. функция чётная), и эта функция не определена лишь в точке . А вот этот логарифм: – определён всюду, поскольку при любом значении «икс».
Только что рассмотренные функции называют сложными или композиционными – это функции, в которые «вложены» другие функции: . В наших трёх примерах под логарифмом оказались линейная и квадратичные функции.

Уравнения и неравенства с логарифмами

В параграфе о логарифмировании и потенцировании мы искусственно «навешивали» логарифмы на обе части уравнения либо избавлялись от них. А сейчас речь пойдёт об уравнениях и неравенствах, где логарифм присутствует изначально.
Начнем с простых случаев… и закончим ими:)
Уравнение вида ( – константа) очевидным образом приводится к уравнению . Например:

ну и давайте что-нибудь посодержательнее:

С геометрической точки зрения это означает, что график функции пересекает график (ось ) в точке .
И, конечно, проверка – подставим в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть, ОК.
Уравнение вида тоже разрешимо из естественных соображений: логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если , при этом корни должны быть ТАКИМИ, чтобы для них выполнялись условия . Так, для решения уравнения потенцируем обе части:
, откуда получаем корень , после чего обязательно подставляем его в исходное уравнение: – верное равенство.
А теперь рассмотрим такое уравнение: , где после избавления от логарифмов всё вроде бы хорошо: , однако корнями эти значения не являются, т.к. не входят в область определения логарифмов.

Неравенства. Простейшие из них удобно решать графически, причём мысленно. Рассмотрим неравенство . Это неравенство предлагает нам определить участок, где график натурального логарифма выше оси . Вспомнили, взглянули? . Аналогично, неравенству соответствует интервал , где график логарифма ниже оси абсцисс. В случае нестрогих неравенств в решения следует добавить единичку.
И рассмотрим общий случай , где «пэ» – произвольная константа.
Во-первых, «начинка» логарифма должны быть строго больше нуля: . Это незыблемое условие, о котором ни в коем случае забывать нельзя! Теперь разбираемся с основным неравенством: сначала в правой части искусственно добавляем множитель: . Обратите внимание, что и статус-кво соблюдён. В правой части поднимаем «пэ» в показатель: и дальше следует развилка:
если , то решаем систему , если – то систему: .
Как видите, в 1-м случае после потенцирования знак неравенства следует сменить на противоположный.
Неравенство решается аналогично с финальными системами:
, если и (без смены знака), если .
Если изначальные неравенства нестрогие, то нижние неравенства в системах тоже будут нестрогими. И ещё раз – условие незыблемо при любых раскладах!
Как я уже отмечал, на практике почти всегда встречает второй случай, когда , ему и уделим внимание. Дорешаем неравенство , которое мы начали в параграфе Метод интервалов. Там была найдена область определения логарифма :
и сейчас нужно решить вторую часть задания. Согласно формальному алгоритму, домножаем правую часть неравенства: , поднимаем ноль наверх: и получаем: . Так как основание логарифма , то при потенцировании знак неравенства менять не нужно: . Преобразуя это простенькое неравенство, получаем: . Таким образом, имеем систему . Решение 1-го неравенства я отмечу сверху, а 2-го – снизу:

Решением системы и исходного неравенства является пересечение (общая часть) промежутков: – да, вот такой вот совсем небольшой интервал.
Как вариант, неравенство нетрудно решать графически – с графиком этого логарифма никаких проблем. И я предлагаю вам это задание в числе других для самостоятельного выполнения. Если что-то не запомнилось или не уложилось в голове, вернитесь к предыдущим параграфам:

Задание 8

а) Решить графически:
б) Определить количество действительных корней уравнения
в) Почему уравнение мы можем сократить на два, но на два нельзя сокращать правую часть ? Пояснить аналитически и геометрически
г) Вычислить или упростить:
, пожалуй, хватит, а то уже извращение какое-то пошло 🙂
д) Решить аналитически:
и для особых любителей пример посложнее: .

Решения и ответы в конце книги.

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим таблицу:

что такое логарифм

Все знакомы с тем, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 можно получить, возведя 2 в пятую степень, то есть это двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2: \(\quad log_(32)\) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32.
Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям, больших 0 и не равных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом от положительного числа \((b \gt 0)\) с основанием \((a \gt 0; \; и \; a \neq 1)\) называется степень \(c,\) в которую нужно возвести число \(a,\) чтобы получить \(b.\)

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить аргумент \(b\).

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто с логарифмами, которые нельзя посчитать в уме. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто!
Давайте для примера оценим логарифм \(log_(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать. Другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:

$$ log_(4) \lt log_(6) \lt log_(16);$$ $$ 1 \lt log_(6) \lt 2. $$

Значит \(log_(6)\) принадлежит промежутку от 1 до 2:

Почему для вычисления сложности алгоритмов используется log N вместо lb N?

введите сюда описание изображения

Во всех источниках сложность алгоритмов обозначается как log N (без указания основания). При этом имеется в виду логарифм по основанию 2. Но для такого логарифма есть свое обозначение lb. Причем это обозначение стандартизировано ISO 31-11 и наверное было бы логичнее и правильнее пользоваться именно им, но этого по какой-то причине не просходит, почему? UPD: у меня нет никакого математического образования и все, что я знаю о логарифмах, что это действие обратное возведению в степень. Возьмем конкретный пример — бинарный поиск. Везде описывают его сложность как log N. При этом под log N, как мне кажется, все таки подразумевается логарифм N по основанию именно 2, т.к. количество операций составляет именно логарифм N по основанию 2, т.е. в какую степень надо возвести именно 2 (а не 10 и не 100), чтобы получить N. Поэтому, если честно, я не понимаю ответов типа «потому что постоянные коэффициенты в обозначении O(n) не имеют значения» или «так как запись с большим O на константы не реагирует — неважно, какой именно логарифм использовать. « и буду признателен за более развернутый ответ, написанный не для математиков. Разве правило, что «константы в О-большом не имеют значения», относится к основанию логарифма? Разве для бинарного поиска не имеет никакой разницы как записать его сложность — логарифмом по основанию 2 или по основанию 100? Если под log N для бинарного поиска подразумевается именно логарифм по основанию 2, то почему бы его не записать как lb N, раз уж для двоичного логарифма есть свое обозначение, вместо того, чтобы записывать вообще без указания основания? UPD 2: я понимаю что «O(N) — это ни в коем случае не количество сравнений, это оценка времени работы алгоритма, максимально отвязанная от деталей реализации и машины.» Но вот этого: «А так как запись с большим O на константы не реагирует — неважно, какой именно логарифм использовать. « я не понимаю. Почему не важно какой логарифм использовать? Вот графики трех логарифмов — двоичного, натурального и по основанию 0,5: Возьмем все тот же бинарный поиск. Разве мы можем заменить в его сложности основание у логарифма с два на десять? А с два на 0,5? Мне кажется, не можем. Т.е. мы не можем подставить в выражении log N произвольное основание потому что зависимость будет совершенно другая — это хорошо видно на графике. Т.о. какой именно логарифм использовать важно. Или я не прав?

Отслеживать

задан 6 мар 2018 в 14:52

1,169 9 9 золотых знаков 23 23 серебряных знака 45 45 бронзовых знаков

вам будет проще понять если вы построите график отношения log_2(x)/ln(x) и убедитесь, что это константа. Потом прочите ещё раз определение ( f(x) = O(log x) -> 0

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Что такое логарифм

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c» . Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182. мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета. Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:

Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

Основное логарифмическое тождество:

В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:

А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

Дальше с этим ничего сделать не сможем.

Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

А в основании тоже можно? Нужно!

Минус два — это степень у основания:

А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:

А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

Формула перехода к новому основанию:

Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:

Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

Начинаем с внутреннего:

И постепенно раскрываем каждый последующий:

После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

Первый появляется из определения логарифма:

Только не забываем про ОДЗ:

Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:

Не забываем про ОДЗ, тогда получится:

Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:

Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

  1. Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
  2. Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
  3. Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
  4. Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
  5. В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *