Скорость нарастания функции как посчитать
Перейти к содержимому

Скорость нарастания функции как посчитать

  • автор:

Как определить скорость роста функции на различных промежутках?

Do you want the value to grow slow at first, but fast later? Use a polynomial or exponential function.
Do you want the value to grow fast at first, and slow down later? Use an nth-root or logarithmic function.

SQRT(x) и логарифмическая вначале растут быстро, но потом замедляются.
Степенные и показательные функции сначала растут медленно, потом ускоряются.

Захотелось как-то доказать эти утверждения, но не знаю как именно. Основная идея это смотреть на вторую производную, но вот не знаю как оценить. Взять, к примеру y = -x^2, y»= -2. Это говорит, о том, что скорость производной все время уменьшается, но сама эта функция будет (-inf;0) — возрастающей, (0;inf) — убывающей.
С корнем дела обстоят тоже не очень, там вторая производная равна (-1/4) * x^(-1,5). Что показывает, что это возрастающая функция, причем при бесконечности, она стремится к нулю. А вот как доказать, что она вначале резко возрастает.

  • Вопрос задан более трёх лет назад
  • 9483 просмотра

Комментировать
Решения вопроса 0
Ответы на вопрос 2

sgjurano

Разработчик

Скорость изменения функции — это первая производная. Если она больше нуля, то функция растёт, если равна нулю — то функция в окрестности данной точки не изменяется, если же она меньше нуля, то функция убывает.

Чем производная по модулю больше, тем быстрее функция изменяется.

Ответ написан более трёх лет назад
Нравится 1 10 комментариев
neronru @neronru Автор вопроса

Это вы говорите о оценке скорости изменения значения функции, но вопрос в том, что если функция на всем промежутке возрастает, и необходимо оценить, саму скорость этого «возрастания», то тут должна использоваться вторая производная. Но вот вопрос её оценки, немного не понятен мне.

sgjurano

neronru: Достаточно оценить значение функции в крайних точках интервала и разделить dy на dx.
Это по сути и есть производная (производная — это тангенс угла наклона секущей, проведенной через крайние точки интервала при dx -> 0).

10.4.2. Переходная характеристика – скорость нарастания.

Переходная характеристика имеет целый ряд параметров, из которых основным является максимальная скорость нарастания выходного напряжения – VU.

Рис.10.10. К определению скорости нарастания выходного сигнала ОУ.

Выходное напряжение ОУ имеет конечную длительность фронта даже при подаче на вход идеального цифрового сигнала. Максимальная скорость нарастания VU определяется, как ΔU/Δt. Быстродействующие ОУ имеют значения VU до 50 В/мкс.

Позволяет ли значение VU у быстродействующих ОУ работать непосредственно с входами ЦИМС?

Пример 10.2. Определить минимальную длительность фронта на выходе ОУ для UВЫХ = 5В, сигнал на входе идеальный.

Для современных ЦИМС, у которых задержки составляют менее 10нс, это очень большое время.

10.5. Основной принцип определения функции оу.

ОУ, имеющий очень большое значение KD и не является функционально законченным устройством. В устройствах на основе ОУ обязательно применяется отрицательная обратная связь (ООС), соединяющая выход ОУ с И- входом через определенные внешние элементы.

Комплексная схема, состоящая из ОУ и внешних элементов, образующих ООС, носит название решающий усилитель (РУ).

Каким бы ни было аналоговое устройство на основе ОУ, в его составе обязательно должна присутствовать элемент ООС, показанный на рис.10.11а,б.

Рис.10.11. Основные структуры РУ (а – с UНИ = 0В, б — с UНИ  0В)

Структура любого РУ сводится к двум типам:

  • НИ-вход используется в работе РУ (Рис.10.11а),
  • НИ-вход имеет постоянный потенциал 0В (Рис.10.11б).

Определение функции РУ проводится в предположении идеального ОУ, т.е. основано на двух условиях:

  • входной ток ОУ равен нулю,
  • коэффициент усиления ОУ  ∞.

Рис.10.12. Условия определения функции РУ.

В соответствии с обозначениями на Рис.10.12

Равенство входного тока ОУ нулю превращается в условие

Входной ток И-входа IВХ.И равен току в цепи ООС IOOC

Бесконечность коэффициента усиления ОУ превращается в условие

В частном случае, для структуры РУ типа Рис.9.13б

Условие (10.10) требует некоторых пояснений. Независимо от функции, которую выполняет РУ, сам ОУ всегда будет выполнять функцию

Если один из сомножителей → ∞, то конечное значение произведения может быть получено только при условии, что второй сомножитель равен нулю (правило Лопиталя).

Для структур с постоянным значением UНИ = 0В (рис.10.13б) условие (10.11) получило название «виртуальный нуль»:

«нуль» означает, что при UНИ = 0В во всех расчетах можно принимать UИ = 0В,

«виртуальный» означает, что точку нельзя соединять с другими точками, в которых имеется реальный или виртуальный нуль.

Значение KD очень велико, но все-таки конечно. Реально условие (10.10/10.11) просто соблюдается с очень хорошей точностью.

Пример 10.3. Оценка соблюдения условия «виртуального нуля».

РУ со структурой Рис.10.13б имеет на выходе UВЫХ = 1В, определить значение UИ, если KD = 10 6 (120dB)/

На цифровом вольтметре это шестой (. ) знак после десятичной запятой.

10.6. РУ на основе ОУ

Для определения функций РУ достаточно условий (10.9) и (10.10/10.11), а также стандартных уравнение для расчета электрических цепей.

10.6.1. Инвертирующий (масштабный) усилитель.

Схема, приведенная на Рис.10.13а, является одной из наиболее распространенных в современной схемотехнике усилителей.

Рис.10.13. Инвертирующий усилитель (а – принципиальная схема, б – эквивалентная схема)

Из самых очевидных расчетов по рис.10.15б

Следует обратить внимание на входное сопротивление РУ. Учитывая, что в точке UИ потенциал 0В

ВНИМАНИЕ. При свойстве ОУ RВХ → ∞ значение RВХ для конкретного усилителя может быть достаточно небольшим.

Получив, наконец, нормальную (и очень распространенную!) схему усилителя, можно вернуться к рассмотрению АЧХ, теперь уже для схемы РУ (Рис.10.14).

Рис.10.14. Зависимость FГР от значения KU.

Поведение АЧХ при уменьшении KU объясняется следующими свойствами ОУ:

  • значение f1 является паспортным данным и зависит от модели усилителя
  • наклон АЧХ в области спада для простых усилительных каскадов также постоянный и составляет ~ 20dB/декада.

Примем за значение fГР. точку пересечения плоской части АЧХ и области спада ( в действительности fГР.ВЧ лежит на 3dB ниже)

При изменении KU в N раз при постоянном наклоне спада АЧХ значение fГ Р.ВЧ будет изменяться в 1/N раз.

Это справедливо для любой частоты, в т.ч. для f1, на которой KU = 1.

Для усилителя постоянного напряжения область частот от 0 до fГР.ВЧ представляет собой полосу пропускания Δf.

Произведение ширины полосы пропускания на коэффициент усиления постоянно и равно частоте единичного усиления (т.е. зависит только от типа применяемого ОУ).

Условие (10.16) справедливо для любого усилителя на основе одного ОУ.

Пример 10.4. Определить ширину полосы пропускания Δf для РУ (Рис. 10.13).

Исходные данные: R1 = 2кОм, R2 = 20кОм, f1 = 10МГц.

Знак «» у KU в данном случае несущественен.

10.6.2. Неинвертирующий усилитель.

Схема усилителя приведена на Рис.10.15. Расчет схемы сводится к расчету эквивалентной электрической цепи.

Рис.10.15. Неинвертирующий усилитель (а – принципиальная схема, б – эквивалентная схема)

Из расчета делителя в цепи ООС следует:

Отсюда получаем коэффициент усиления

Входное сопротивление РУ

10.6.3. Согласующий повторитель напряжения.

Повторитель является частным случаем неинвертирующего усилителя со 100%-ой ООС. В схеме на Рис.10.16 с учетом (10.9) присутствует очевидное равенство

Рис.10.16. Повторитель напряжения

В результате схема обладает очень высоким значением RВХ = RВХ.ОУ → ∞ и очень малым значением RВЫХ. Наличие ООС по напряжению делает значение RВЫХ еще меньшим, чем оно есть у самого ОУ, хотя эмиттерный повторитель на выходе ОУ уже обеспечивает достаточно малое значение RВЫХ.

ВНИМАНИЕ. РУ, выполненный на основе ОУ, имеет значения RВХ и RВЫХ, определяемые в первую очередь особенностями и параметрами схемы, а не самого ОУ.

Как расположить функции в порядке увеличения скорости роста?

Мой вариант:
11 14 5 6 12 15 7 1 8 9 13 2 17 3 4 16 10
Он неправильный.

  • Вопрос задан более трёх лет назад
  • 12708 просмотров

Комментировать
Решения вопроса 1

OLS

Попробуйте вот такой вариант : 14 11 5 12 6 15 1 8 9 13 2 7 17 3 4 16 10
У меня есть некоторые основания на него полагаться.

P.S. Исправлено в ходе обсуждений — последняя версия :

11 14 5 12 6 15 7 1 8 9 13 2 17 3 4 16 10

Производная по направлению и градиент функции

Уже в начале первой статьи о дифференцировании функции двух переменных я коротко рассказал о смысле частных производных 1-го порядка и подвёл вас к теме сегодняшнего урока. Итак, что же такое производная по направлению? На самом деле с данным понятием вы знакомы ещё с 1-го семестра, поскольку производную функции одной переменной смело можно назвать производной по направлению – ведь она характеризует скорость изменения функции в направлении оси .

И эта суть с учётом бОльшего разнообразия направлений распространяется на производные функций нескольких переменных, в частности, на производные функции . Геометрически функция двух переменных чаще всего представляет собой поверхность, и значения «зет» у нас чётко ассоциируются с высотой. Таким образом, с позиций геометрии скорость изменения данной функции – есть скорость изменения высоты. При этом совершенно понятно, что «негоризонтальная» поверхность изменчива – в каких-то направлениях она крутА, в каких-то полога, а где-то таки «равнина». И производная по направлению как раз призвана охарактеризовать «ландшафт местности» (скорость изменения функции) в различных точках по различным направлениям. В этой связи возникает первый вопрос:

а КАКИМ СПОСОБОМ вообще можно задать какое-то конкретное направление?

Вспомним забавную модель урока Предел функции двух переменных, в которой мы перемещаемся по комнате в плоскости декартовой системы , а прямо над нами «зависло одеяло», заданное функцией . Давайте встанем в некоторую точку области определения. В зависимости от выбора точки нам доступен бесконечно малый «шажок» в некоторых или, что вероятнее, во всех направлениях. Направление традиционно обозначается исходящим из точки лучом , лежащим в плоскости . Сам луч можно определить с помощью угла (между ним и осью либо ), а ещё лучше – с помощью вектора.

как узнать скорость изменения функции в каком-либо направлении?

С помощью производной по направлению . Как вариант, в обозначении можно использовать букву «эф»: .

Если в точке существует производная по направлению луча (исходящего из точки и лежащего в плоскости ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

частные производные 1-го порядка в точке ;
направляющие косинусы (координаты вектора единичной длины), однозначно определяющие данное направление.

Примечание: Производная по направлению, конечно же, не обязана существовать во всех возможных направлениях (представьте, например, «край одеяла»). Со строгими условиями её существования можно ознакомиться в учебной литературе.

На практике популярна более компактная запись: .

– это ЧИСЛО, характеризующее скорость изменения функции, причём:

– если , то функция в точке по данному направлению возрастает (поверхность «идёт в гору»);

– если , то функция в точке по данному направлению убывает («склон» поверхности);

– если , то функция в точке по данному направлению постоянна (поверхность параллельна плоскости ).

Геометрический смысл производной по направлению по существу напоминает геометрический смысл «обычной» производной. Представьте плоскость, проходящую через луч «эль» перпендикулярно плоскости . Данная плоскость «высекает» из поверхности пространственную линию , которой, очевидно, принадлежит точка . Производная по направлению численно равна тангенсу угла между касательной к линии в точке и плоскостью :

Примечание: также можно сказать, чтоэто угол между касательной к линии в точке и её ортогональной проекцией на плоскость , т.е. направлением луча (см. Пример 3, пункт «д» статьи Основные задачи на прямую и плоскость).

Более того, само обозначение символизирует отношение приращения функции («высоты») к бесконечно малому «шажку» по направлению луча «эль». Таким образом, чем больше по модулю, тем больше крутизна поверхности в данной точке по данному направлению. Крутизну можно выразить непосредственно через угол:

, после чего данная характеристика приобретает простой обывательский смысл («подъём в гору под углом 30 градусов» и т.п.). Впрочем, в геодезии приняты другие стандарты.

Как видите, всё очень и очень напоминает производную функции одной переменной – с тем отличием, что направлений стало гораздо больше, и по одну руку может быть «скала», а по другую – «пропасть». Кстати, все ли понимают, почему мы делаем именно бесконечно малые «шаги» по различным направлениям? Дело в том, что существует поверхности, «рельеф» некоторых меняется невероятно быстро – на 1 квадратном сантиметре могут запросто умещаться миллионы «гор» и «ущелий», да и того больше. Поэтому для корректного описания «местности» и используются бесконечно малые величины

После небольшого экскурса в теорию вернёмся к самой формуле , из которой выведем скорость изменения функции в двух хорошо знакомых направлениях.

Рассмотрим исходящий из точки луч , параллельный оси (либо совпавший с ней) и направленный в сторону её острия. Очевидно, что данный луч однозначно определяется единичным вектором . Таким образом, (напоминаю, что координаты вектора единичной длины – это и есть соответствующие направляющие косинусы) и общая формула чудесным образом упрощается:

То есть, частная производная «по икс» в точке характеризует скорость изменения функции в направлении острия оси (параллельно данной оси).

Самостоятельно проведите рассуждения для луча и сделайте вывод о том, что .

Теоретическая часть урока начинает плавно перетекать в практику, и первые задачи будут посвящены «трёхмерным аналогам» примеров статьи о смысле производной:

Найти производную функции в точке по направлению вектора

А теперь давайте немного разомнёмся и немного походим по комнате. Предположим, что под нами плоскость . Да-да, всё верно – сейчас мы перемещаемся ПО САМОЙ поверхности. На уроке Предел функции двух переменных нам помогал один волшебный персонаж, но сегодня настал черёд самостоятельно исследовать поверхности – чтобы как следует прочувствовать тему =)

Что с высотой? Очевидно, что в каком бы направлении мы ни пошли – высота будет оставаться неизменной. Таким образом, сразу понятно, что в любой точке и по любому направлению скорость изменения функции равна нулю.

Однако, несмотря на известный ответ и всю простоту задачи, со всей ответственностью отнесёмся к её решению:

Вычислим скорость изменения функции по направлению исходящего из точки луча , который определяется вектором . Используем рабочую формулу:

В результате получены две константы, а именно, два нуля. Что это значит? Это значит, что частные производные равны нулю В ЛЮБОЙ точке области определения функции (вся плоскость ), в частности и в точке :

Примечание: формально частные производные можно расписать в виде и выполнить подстановку координат точки :

Полученные результаты подтверждают тот факт, что откуда бы и по какому бы направлению мы ни передвигались – наша высота будет сохраняться постоянной:

В принципе, здесь следует записать ответ, но ради отработки общего алгоритма решения найдём направляющие косинусы предложенного направления. По существу, требуется найти вектор единичной длины, который сонаправлен с вектором . Задача нахождения такого вектора подробно рассмотрена в самом конце статьи Скалярное произведение векторов. Воспользуемся готовой формулой:

Легко проверить, что любой другой ненулевой сонаправленный вектор приводится к этому же «эталону». Протестируем, например, вектор :

К слову, не лишним будет убедиться, что его длина действительно равна единице:

Эквивалентный способ проверки основан на известном равенстве :

Собственно, финальный расчёт:

Ответ:

Можно использовать обозначение либо , подчёркивая, что производная по направлению найдена именно в точке . Однако упущение невелико, поскольку это и так ясно из контекста решения.

Легко понять, что проведённые выкладки справедливы и для любой другой «горизонтальной» плоскости, то есть производная функции в любой точке и по любому направлению равна нулю. Ну а сейчас самое время покинуть душные квартиры и выйти склон зелёного холма, где безмятежно пригревает майское солнышко. …Хотя кто знает, возможно, вы там и находитесь – ведь с развитием гаджетов люди стали получать знания в самых неожиданных местах =)

Но, так или иначе – добро пожаловать на природу:

Найти производную функции в точке по направлению:

1) координатных осей (параллельно им);
2) вектора ;
3) вектора ;
4) градиента.

Производная по направлению характеризует крутизну поверхности в данном направлении

Решение: итак, выберите произвольную точку «зелёного холма» и осмотритесь по сторонам. Теперь переместитесь в какую-нибудь другую точку плоскости и снова оцените «местность»:

…кой-какие обозначения я не проставил из эстетических соображений, ну да ладно, не извращаться же со слоями в Фотошопе…

Что можно сказать о «ландшафте»? Во всех своих точках плоскость имеет постоянный наклон по всем направлениям, то есть, с точки зрения наклона – без разницы, где мы находимся. Проверим это аналитически:

Как и в предыдущем примере, производные-константы подразумевают тот факт, что в ЛЮБОЙ точке плоскости XOY, а значит и в точке (которую я выбрал исключительно для удобства построения чертежа), эти значения сохраняются постоянными:

Таким образом:
– и данный результат как раз убедительно подтверждает то, что скорость изменения функции зависит только от направления.

1) Найдём производную по направлению луча , совпадающего с положительной полуосью . Тут даже с направляющими косинусами возиться не надо – как было установлено выше, производная по данному направлению равна частной производной по «икс» в точке :

Для лучшего понимания я изобразил «чёрную дорожку», по которой мы будем «подниматься вверх по склону» и, исходя из геометрического смысла производной, очень легко отыскать конкретное значение «чёрного» угла: .

И ещё раз подчёркиваю независимость выбора исходной точки – если мы выберем любую другую «начальную точку путешествия» и начнём двигаться в направлении вектора , то «угол подъёма» будет точно таким же.

Аналогичная история с положительным направлением оси :

Отрицательный знак производной говорит об убывании функции в направлении координатного вектора . Иными словами, тут нас ожидает «желтая дорожка» вниз по склону под «жёлтым» углом градусов.

2) Вычислим производную по направлению луча . Для этого отработанным приёмом найдём единичный вектор , сонаправленный с вектором :
– координаты которого и являются направляющими косинусами данного направления:

Да, не забываем о проверке:
, ч.т.п.

По правилам хорошего тона запишем вычисления подробно:

И действительно, синяя «дорожка» проходит на неизменной высоте прямо в плоскости .

Аналогично – если мы «выйдем» из любой другой точки плоскости по направлению того же вектора , то наша высота (скорость изменения функции) будет оставаться постоянной.

3) Найдём производную по направлению вектора :

Проверим результат с помощью равенства :

Вычислим производную по направлению луча , который «спрятался» под плоскостью :

Таким образом, подъём по «оранжевой дороге» осуществляется под углом

4) Градиент

Понятие градиента можно сформулировать по-разному. Начнём с локального определения, а именно, с градиента функции в отдельно взятой точке:

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который показывает направление и скорость наискорейшего роста функции в данной точке.

Если совсем просто, то куда «смотрит» градиент – там и самый крутой «подъём в гору»

Распространённые обозначения: либо , причём здесь уже нельзя записывать просто (точнее, эта запись приобретает несколько другой смысл).

И теперь заостряю внимание: градиент в точке – это вектор несвободный. По той причине, что характеризует поведение функции именно в данной точке, а не где-то ещё. Поэтому, следует отложить от начала координат. Однако он тоже оказывается под плоскостью , и «красный» вектор на чертеже, которым я обозначил общее направление – это на самом деле градиент в другой точке:

Взаимосвязь производной по направлению с градиентом:

Производная по некоторому направлению в точке – это проекция градиента в данной точке на данное направление:
, откуда, согласно известным геометрическим выкладкам (см. ссылку выше), получается весьма полезная практическая формула:

– длина градиента;
– угол между градиентом и данным направлением.

В свою очередь из этой формулы следует, что производная по направлению достигает максимального значения при , то есть когда – направление совпадает с направлением градиента.

В нашей задаче производная по направлению градиента:
и максимальный «красный» угол подъёма:

Заметьте, что полученный результат – это отличное средство дополнительного контроля решения: если по другому направлению получился бОльший угол, то нужно искать ошибку.

Как всегда, в лучших своих традициях я аккуратно встроил теоретический материал в развёрнутое практическое задание, и после увлекательной прогулки настало время подвести итог:

Ответ:

Если что-то осталось недопонятым, то, вероятнее всего, у вас пробелы в теории производной функции одной переменной и/или основах аналитической геометрии. Особенно много сегодня требуется геометрических знаний. Спокойствие и только спокойствие – всё можно наверстать буквально в ближайший час, после чего вернуться на эту страницу и перечитать начало статьи ещё раз.

Ну а мы продолжаем рассматривать тематические задачи, и оставшиеся примеры будут значительно короче. Но расслабляться ни в коем случае не следует, поскольку впереди ещё немало нового и интересного материала:

Дана функция , точка и вектор . Требуется найти:
а) производную функции в точке по направлению вектора ;
б) градиент функции в данной точке.

Классика жанра – найти производную по какому-нибудь направлению и градиент.

Закрепляем алгоритм решения:

а) Обозначим через исходящий из точки по направлению вектора луч и воспользуемся стандартной формулой:

Тут не помешает «прозвонить» равенство , благо, смешанные производные 2-го порядка отыскиваются с пол тычка.

А вот сейчас наступает действительно ответственный момент – это «реальное» вычисление частных производных 1-го порядка в точке . Всегда проявляйте ПОВЫШЕНОЕ ВНИМАНИЕ на данном этапе:

Полезный приём: несмотря на кажущееся отсутствие хорошей проверки, я всё-таки придумал небольшое ноу-хау, которое с высокой эффективностью позволяет избегать вычислительных ошибок. Ухищрение состоит в следующем: когда вам предложена задача с неприятными и плохо проверяемыми вычислениями, то сначала СОСРЕДОТОЧЕННО прорешайте её на черновике и отложите листок в сторону. Далее переключаемся на другие дела, после чего черновое решение благополучно забывается. Спустя некоторое время (полчаса — час, а ещё лучше – день) так же ВНИМАТЕЛЬНО оформляем чистовое решение и сверяемся с черновиком. Почти 100% – ошибка «не пройдёт».

На очереди нахождение единичного вектора, сонаправленного с вектором :

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

На завершающем этапе тоже проявляем внимание, правда, здесь уже гораздо меньше шансов что-то «прозевать»:

И конечно, не забываем о геометрическом смысле результата: отрицательный знак производной сообщает нам об убывании функции в данном направлении, т.е. при бесконечно малом «шажке» из точки по направлению луча «эль» крутизна «склона» поверхности составит .

Особо подчёркиваю, что в отличие от Примеров № 1, 2 оговорка о «бесконечно малом шажке» становится необходима, ибо многие поверхности – это «не плоскости плоские», а «волны волнистые», и в соседней, пусть даже очень близкой точке производная по тому же направлению в общем случае будет другой.

Кстати, в условии запросто может спрашиваться НЕ о производной по направлению, а о крутизне поверхности – и в этом случае расчёт угла станет обязательным завершающим шагом решения.

2) Второй пункт совсем прост:

Однако и тут снова следует проявить аккуратность – условие задачи вполне может запрашивать НЕ градиент, а «наибольшую скорость роста функции в точке ». Тогда находим производную по направлению градиента:
, которая и является мерилом этой скорости.

А если же требуется найти «наибольшую крутизну поверхности в точке », то в ответе указываем НЕ градиент и НЕ его длину, а угол .

Завершая этот содержательный разбор полётов, расскажу о более широком понятии градиента. В более широком смысле под градиентом понимают векторную функцию , которая каждой точке области определения функции (где существует градиент) ставит в соответствие вектор, показывающий направление максимального роста функции в данной точке.

Так, например, в нашем случае можно составить векторную функцию и для десятка-другого точек построить целую «карту» направленных отрезков, которая безо всякого трёхмерного чертежа достаточно хорошо охарактеризует «поведение» поверхности в интересующих нас направлениях.

Отсюда становится окончательно понятно, почему градиент в точке – это несвободный вектор, отложенный именно от конкретной точки.

Молодцы, что осилили =) . теперь и теория поля будет нипочём!

Ответ:

Пара типовиков для самостоятельного решения:

Найти производную функции в точке по направлению вектора и максимальную крутизну поверхности в данной точке.

Слишком просто? В простых задачах и ошибаются! …ну что же, сами виноваты – задачка позанятнее:)))

Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с градиентом функции в этой точке.

Если возникли затруднения, пожалуйста, вернитесь к вышеизложенному материалу. Примерный образец чистового оформления решений в конце урока.

На практике довольно часто встречаются задания, в которых направление задаётся другими способами:

Найти производную функции в точке :
а) в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ;
б) в направлении биссектрисы 2-го координатного угла.

То есть, направления заданы через углы. Учимся с ними разбираться:

Решение: частные производные в точке понадобятся в обоих пунктах и поэтому в первую очередь их и найдём:

Ну а что тут такого? Числа как числа.

а) Обозначим через луч, исходящий из точки и образующий угол с положительным направлением оси . Очевидно, что данный луч лежит в 1-й координатной четверти (правой верхней) и образует угол в с осью . Картина очень простая, но если таки мутноватая, выполните чертёж.

Формула производной по направлению, естественно, та же:

И главный вопрос – как найти направляющие косинусы? Я предлагаю следующую цепочку рассуждений, которая мне показалась наиболее простой:

Пусть направляющий вектор луча отложен от начала координат. Совершенно понятно, что этот вектор тоже наклонен к оси под углом 30 градусов.

Угол – это угол между вектором и положительной полуосью . То есть, угол сразу «готов к употреблению» – даже обозначения совпали (в условии вполне могла быть и другая буква, например, ).

Угол – это угол между вектором и положительной полуосью . С «бетой» никаких проблем: поскольку угол между координатными осями составляет 90 градусов, то или .

Вычислим направляющие косинусы:

Впрочем, чего тут вычислять – эти значения вкладывались в наши головы долгие школьные годы. Но на всякий случай ссылка на тригонометрическую таблицу.

Контроль:
Дотошные естествоиспытатели могут изобразить на чертеже вектор и воочию убедиться, что он направлен туда, куда надо.

Искомая производная по направлению:

…это ещё божий одуванчик, бывает гораздо хуже.

б) Вычислим производную в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. Напоминаю, что координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, и очевидно, речь идёт о биссектрисе, которая делит пополам левую верхнюю четверть.

Мало-мальски подготовленные люди легко подберут направляющий вектор этого направления, напрашивается вектор , и сразу найдут направляющие косинусы:

Такой вариант решения вполне приемлем, однако «подарочный» угол, кратный 45 градусам, встречается далеко не каждый день, и поэтому мы отработаем универсальную схему решения. Пусть вектор , задающий биссектрису 2-го координатного угла, отложен от начала координат (как вы уже поняли, именно в таком положении проще всего высмотреть нужные углы):
(угол между вектором и положительной (!) полуосью );
(угол между вектором и положительной полуосью ).
Таким образом:

Обозначим буквой луч, который исходит из точки в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. Вычислим производную по данному направлению:

Ответ:

На практике так подробно, конечно, расписывать не нужно и решение следующей задачи поможет вам понять ориентировочный минимум комментариев:

Найти производную функции в точке :
а) в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ;
б) в направлении биссектрисы 4-го координатного угла.

И в заключение этого параграфа хочу отметить, что помимо геометрии, рассматриваемый математический инструментарий широко применяется в различных физических задачах – примеров настолько много, что от физики могут взвыть даже некоторые физики =)
В этой связи я сохраню мудрое молчание, …впрочем, ненадолго =)

Производная по направлению и градиент функции трёх переменных

Грубо говоря, добавляется одно измерение и одно слагаемое. Рассмотрим функцию трёх переменных и точку , принадлежащую её области определения.

Если в точке существует производная по направлению пространственного луча (исходящего из точки ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

частные производные функции трёх переменных в точке ;
– направляющие косинусы данного направления (они же соответствующие координаты направляющего вектора единичной длины).

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который указывает направление наибыстрейшего возрастания данной функции в данной точке.

И обещанный физический пример: рассмотрим функцию трёх переменных , которая характеризует температуру некоего пространственного тела в каждой его точке . Тогда производная по тому или иному направлению в некоторой точке тела будет показывать скорость нагревания/охлаждения тела в соответствующих направлениях, а вектор – указывать направление наибыстрейшего роста температуры в этой точке.

Вот такой вот удачный и понятный пример – не какие-нибудь плохо представляемые электрические поля.

Закрепим формулы несколькими задачами:

Найти производную функции в точке по направлению вектора

Не тушуемся, это пространственный вектор:

Алгоритм решения остаётся прежним. Вычислим частные производные 1-го порядка в точке . Вот уж где точно нужен глаз да глаз:

Найдем направляющие косинусы данного направления:

И завершающий шаг:

Ответ:

Пара символических заданий для самостоятельного решения:

Найти производную функции в точке по направлению, составляющему с положительными координатными полуосями равные углы.

Найти направление и величину наибыстрейшего возрастания функции в точке .

Особых комментариев я не оставлял, поскольку всё очень похоже на примеры 1-й части урока.

Аналогичным образом производная по направлению и градиент определяются и для функций бОльшего количества переменных.

Всех поздравляю! – сегодня мы не только познакомились с новым материалом, но и обобщили понятие производной, после чего забудем о ней, как о кошмарном сне можно смело приступать к изучению интегралов, разновидностей коих – великое множество.
…чувствую-чувствую, что взгрустнулось – вот и решил приободрить =)

Желаю вам выбора удачных направлений, которые, кстати, далеко не во всех точках жизни направлены по градиенту.

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Найдём направляющие косинусы:

Искомая производная по направлению:

Найдём градиент функции в точке и вычислим его длину:

Таким образом, максимальная крутизна поверхности в точке :

Ответ:

Пример 5: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Составим градиент функции в точке и вычислим его длину:

Искомая производная по направлению:

Ответ:

Пример 7: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

а) Вычислим производную по направлению , составляющему угол с положительным направлением оси . Рассмотрим единичный вектор , определяющий это направление. Очевидно, что . Таким образом:

Искомая производная по направлению:

б) Рассмотрим единичный вектор , определяющий направление биссектрисы 4-го координатного угла. Очевидно, что его углы с положительными полуосями и соответственно равны (можно взять – ориентация угла не имеет значения) и . Таким образом:

В результате производная по данному направлению:

Пример 9: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Найдём направляющие косинусы предложенного направления. Используем равенство:

Так как , то:

И поскольку луч расположен в 1-м октанте:

Искомая производная по направлению:

Ответ:

Пример 10: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Направление наибыстрейшего роста функции в точке задаёт вектор градиента в данной точке:

Вычислим величину наибыстрейшего роста функции:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *